Nombres en écriture fractionnaire : Cours complet et Exercices

Bienvenue dans cette leçon incontournable où nous allons maîtriser les Nombres en écriture Fractionnaire de A à Z ! Prépare-toi à découvrir comment représenter des partages, simplifier des écritures et calculer avec agilité grâce à des méthodes pas à pas.

Activité de découverte : Le partage des pizzas après le match

Imaginons la situation suivante : après un tournoi de football très fatiguant, ton équipe se réunit dans une pizzeria. Vous êtes exactement $4$ amis à la table. Vous avez très faim, mais vous n’avez pas assez d’argent pour acheter une pizza chacun. Vous décidez donc de commander $3$ grandes pizzas à partager équitablement entre vous tous.

Le serveur apporte les $3$ pizzas fumantes sur la table. Le défi mathématique est le suivant : comment allez-vous partager ces pizzas pour que chacun ait exactement la même quantité à manger ? Et surtout, quelle quantité de pizza (quelle part mathématique) chaque ami va-t-il recevoir ?

La solution la plus simple est de couper chaque pizza en $4$ parts égales. Puisque vous avez $3$ pizzas, cela fera un total de $12$ parts (car $3 \times 4 = 12$). Ensuite, on distribue ces parts équitablement aux $4$ amis. Chaque ami va donc recevoir $3$ parts. Mais attention, ce sont des parts qui représentent un quart d’une pizza !

Chaque ami reçoit donc $3$ fois « un quart » de pizza. En mathématiques, pour exprimer cette quantité qui n’est pas un nombre entier, on utilise une écriture très pratique. On dit que chaque ami a reçu les trois quarts d’une pizza, ce qui s’écrit $\frac{3}{4}$. C’est exactement à cela que servent les nombres que nous allons étudier aujourd’hui : représenter des partages et des quotients !

Je retiens : Qu’est-ce qu’un nombre en écriture fractionnaire ?

Commençons par définir précisément le vocabulaire fondamental. Un nombre en écriture fractionnaire, couramment appelé une « fraction », est composé de trois éléments distincts qu’il faut connaître par cœur.

Le numérateur : C’est le nombre écrit au-dessus du trait. Il indique le « nombre de parts » que l’on prend ou que l’on considère.
Le trait de fraction : Il sépare les deux nombres et symbolise une division (un partage).
Le dénominateur : C’est le nombre écrit en dessous du trait. Il indique en combien de parts égales l’unité entière a été découpée. Attention : le dénominateur ne peut jamais être égal à zéro !

Si nous reprenons l’exemple $\frac{3}{4}$, le nombre $3$ est le numérateur, et le nombre $4$ est le dénominateur. On lit cette fraction « trois quarts ».

Le lien avec la division :
Il est crucial de comprendre qu’une fraction est avant tout le résultat d’une division. La fraction $\frac{a}{b}$ (où $a$ et $b$ sont des nombres, avec $b$ différent de zéro) est exactement le quotient exact de $a$ divisé par $b$. On peut donc écrire la règle suivante : $\frac{a}{b} = a \div b$.

Méthodes et Exemples résolus : Lire et représenter

Voyons comment passer d’un dessin à une fraction, et inversement.

Exemple 1 : Un gâteau rectangulaire est découpé en $8$ parts strictement égales. Tu manges $5$ de ces parts. Quelle fraction du gâteau as-tu mangée ?

Le gâteau est coupé en $8$ parts égales. Le dénominateur (en bas) est donc $8$.
Tu as pris $5$ parts. Le numérateur (en haut) est donc $5$.
La fraction se lit « cinq huitièmes » et s’écrit $\frac{5}{8}$.

Exemple 2 : Comment représenter la fraction $\frac{7}{5}$ ?

Ici, le numérateur ($7$) est plus grand que le dénominateur ($5$). Cela signifie que la quantité est supérieure à $1$ unité entière !
On doit dessiner des unités (par exemple des tablettes de chocolat) découpées en $5$ morceaux égaux.
On colorie une première tablette entière (soit $5$ morceaux). Il nous en manque encore $2$ pour arriver à $7$.
On dessine une deuxième tablette découpée en $5$, et on colorie $2$ morceaux supplémentaires. On a bien représenté $\frac{7}{5}$.

Je retiens : Égalité et simplification de Nombres en écriture Fractionnaire

C’est l’une des propriétés les plus magiques et les plus utiles des mathématiques : un même nombre peut s’écrire sous la forme d’une infinité de fractions différentes !

La Règle d’Or :
On ne change pas la valeur d’une fraction si l’on multiplie (ou si l’on divise) son numérateur ET son dénominateur par le même nombre (qui ne doit pas être zéro).

Cette règle nous permet de faire deux choses essentielles :

Mettre au même dénominateur : En multipliant, on trouve des fractions équivalentes avec des nombres plus grands.
Simplifier une fraction : En divisant, on trouve une fraction équivalente avec des nombres plus petits. Une fraction est dite « irréductible » lorsqu’on ne peut plus la simplifier.

Méthodes et Exemples résolus : Trouver des fractions égales

Exemple 1 : Simplifier une fraction étape par étape.
Simplifions au maximum la fraction $\frac{24}{36}$.

Étape 1 : On cherche un diviseur commun à $24$ et $36$. On remarque qu’ils sont tous les deux pairs, on peut diviser par $2$.
Calcul : Le numérateur devient $24 \div 2 = 12$. Le dénominateur devient $36 \div 2 = 18$. On obtient $\frac{12}{18}$.
Étape 2 : On continue. $12$ et $18$ sont dans la table de $6$. On divise en haut et en bas par $6$.
Calcul : Le numérateur devient $12 \div 6 = 2$. Le dénominateur devient $18 \div 6 = 3$.
Résultat : On obtient $\frac{2}{3}$. On ne peut plus la simplifier. C’est la fraction irréductible. Donc $\frac{24}{36} = \frac{2}{3}$.

Exemple 2 : Transformer pour obtenir un dénominateur précis.
On veut transformer la fraction $\frac{5}{7}$ pour qu’elle ait $42$ comme dénominateur.

Étape 1 : On se pose la question : « Par quoi faut-il multiplier $7$ pour obtenir $42$ ? ». En connaissant ses tables, on sait que $7 \times 6 = 42$.
Étape 2 : On applique la règle d’or. Puisqu’on multiplie le bas par $6$, on doit obligatoirement multiplier le haut par $6$ aussi.
Calcul : Le numérateur devient $5 \times 6 = 30$.
Résultat : On peut écrire avec certitude que $\frac{5}{7} = \frac{30}{42}$.

Je retiens : Prendre une fraction d’une quantité

Dans la vie de tous les jours, on utilise souvent les fractions pour calculer une partie d’un tout. Par exemple : « Les deux tiers des élèves de la classe », ou « les trois quarts d’un gâteau de 800 grammes ».

La Règle de calcul :
Pour calculer la fraction $\frac{a}{b}$ d’une quantité $Q$, on doit multiplier la quantité $Q$ par la fraction $\frac{a}{b}$. Le mot « de » ou « d' » en mathématiques se traduit presque toujours par le signe de multiplication $\times$.

Il existe trois méthodes de calcul pour résoudre $Q \times \frac{a}{b}$. Tu peux choisir celle qui donne les calculs les plus faciles selon les nombres :

Méthode 1 : On divise la quantité par le dénominateur ($b$), puis on multiplie par le numérateur ($a$). C’est souvent la méthode de calcul mental la plus simple ! Formule : $(Q \div b) \times a$.
Méthode 2 : On multiplie d’abord la quantité par le numérateur ($a$), puis on divise le résultat par le dénominateur ($b$). Formule : $(Q \times a) \div b$.
Méthode 3 : On calcule d’abord la valeur décimale de la fraction (en faisant $a \div b$), puis on multiplie par la quantité $Q$. Attention, cette méthode ne marche que si la division « tombe juste ».

Méthodes et Exemples résolus : Calculs concrets

Exemple 1 : Un pot de confiture pèse $400$ grammes. Il est rempli aux $\frac{3}{4}$. Quelle est la masse de la confiture ?

On doit calculer $\frac{3}{4}$ de $400$. Le calcul est donc $400 \times \frac{3}{4}$.
Utilisons la Méthode 1 : On divise d’abord $400$ par le dénominateur $4$. Cela donne $400 \div 4 = 100$. Cela signifie qu’un quart du pot représente $100$ grammes.
Ensuite, on multiplie ce résultat par le numérateur $3$. Cela donne $100 \times 3 = 300$.
Résultat : La masse de confiture est de $300$ grammes.

Exemple 2 : Calculer les $\frac{2}{5}$ de $150$ euros.

Le calcul est $150 \times \frac{2}{5}$.
Utilisons la Méthode 1 : $150 \div 5 = 30$ (car $15 \div 5 = 3$, on rajoute le zéro). Puis on multiplie par $2$ : $30 \times 2 = 60$. Le résultat est $60$ euros.
Vérifions avec la Méthode 2 : On multiplie d’abord $150$ par $2$, ce qui donne $300$. Puis on divise $300$ par le dénominateur $5$. Le calcul est $300 \div 5 = 60$. On trouve bien la même chose !

Je retiens : Addition et Soustraction de Nombres en écriture Fractionnaire

Comment additionner ou soustraire deux fractions entre elles ? Il y a une règle absolue et inviolable que tu dois mémoriser à tout jamais.

La Règle Impérative :
On ne peut additionner ou soustraire deux fractions QUE SI elles ont exactement le MÊME dénominateur. Si les dénominateurs sont différents, il est formellement interdit de faire le calcul directement. Il faut d’abord les transformer (les réduire au même dénominateur).

Cas 1 : Les dénominateurs sont déjà les mêmes. On additionne (ou on soustrait) uniquement les numérateurs entre eux, et on garde le dénominateur commun intact. Formule : $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$.
Cas 2 : Les dénominateurs sont différents. On utilise la « Règle d’or » (vue plus haut) pour transformer l’une des fractions (ou les deux) afin qu’elles aient le même nombre en bas. Ensuite, on applique le Cas 1.

Méthodes et Exemples résolus : L’addition et la soustraction

Exemple 1 : Même dénominateur.
Calculer $\frac{7}{12} + \frac{4}{12}$.

Les dénominateurs sont identiques (c’est $12$). Le calcul est autorisé.
On additionne les numérateurs : $7 + 4 = 11$.
On garde le dénominateur $12$. (Attention, on ne fait surtout pas $12+12$ !).
Le résultat est $\frac{11}{12}$.

Exemple 2 : Dénominateurs différents.
Calculer $\frac{3}{4} + \frac{5}{8}$.

Les dénominateurs sont $4$ et $8$. Ils sont différents. On ne peut pas calculer directement.
On remarque que $8$ est dans la table de $4$ ($4 \times 2 = 8$). On va donc transformer la fraction $\frac{3}{4}$ pour lui donner le dénominateur $8$.
On multiplie le bas ET le haut par $2$. Cela donne $\frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8}$.
Maintenant, on réécrit le calcul : $\frac{6}{8} + \frac{5}{8}$.
Les dénominateurs sont les mêmes. On additionne les numérateurs : $6 + 5 = 11$. On garde le dénominateur $8$.
Le résultat est $\frac{11}{8}$.

Attention aux pièges fréquents !

Voici les erreurs gravissimes que de nombreux élèves commettent. Lis-les attentivement pour immuniser ton cerveau contre ces fautes !

Additionner les dénominateurs : C’est l’erreur numéro 1 ! Ne JAMAIS calculer $\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{6}$. C’est faux. Pense à des parts de tarte : si tu manges deux tiers de tarte, puis quatre tiers de tarte, tu manges bien des tiers, et pas des « sixièmes ». Le bon résultat est $\frac{6}{3}$.
Multiplier seulement un côté : Quand tu veux modifier un dénominateur, si tu oublies de multiplier le numérateur par le même nombre, tu détruis la valeur de la fraction. Le haut et le bas sont jaloux, ce que tu fais à l’un, tu dois le faire à l’autre.
Mettre un zéro au dénominateur : Écrire $\frac{5}{0}$ est une hérésie mathématique. Tu ne peux pas partager un gâteau en « zéro part ». La division par zéro est strictement impossible.

Exercices d’application progressifs

Prends ton cahier, un crayon de papier et une gomme. Ces exercices couvrent tout le chapitre. Rédige bien toutes les étapes de tes calculs, comme si tu devais l’expliquer à un autre élève.

Série 1 : Vocabulaire, lecture et quotient

Exercice 1 : Écris en toutes lettres les fractions suivantes.
a) $\frac{1}{2}$
b) $\frac{2}{3}$
c) $\frac{3}{4}$
d) $\frac{7}{10}$

Exercice 2 : Écris la fraction qui correspond à chaque quotient.
a) $15 \div 4$
b) $7 \div 9$
c) $123 \div 100$

Exercice 3 : Calcule la valeur décimale de chaque fraction en posant la division au brouillon.
a) $\frac{3}{2}$
b) $\frac{1}{4}$
c) $\frac{12}{5}$

Série 2 : Égalités et simplifications

Exercice 4 : Recopie et complète les égalités en trouvant le nombre manquant.
a) $\frac{3}{5} = \frac{\dots}{15}$
b) $\frac{7}{8} = \frac{21}{\dots}$
c) $\frac{4}{9} = \frac{40}{\dots}$

Exercice 5 : Simplifie les fractions suivantes par $2$, puis par $3$, puis par $5$ si c’est possible.
a) $\frac{10}{14}$
b) $\frac{15}{20}$
c) $\frac{30}{45}$

Exercice 6 : Rend ces fractions irréductibles (simplifie-les au maximum). Détaille les étapes.
a) $\frac{24}{32}$
b) $\frac{45}{60}$
c) $\frac{100}{150}$

Série 3 : Fractions d’une quantité

Exercice 7 : Calcule mentalement.
a) La moitié de $50$.
b) Le tiers de $30$.
c) Le quart de $40$.

Exercice 8 : Calcule la valeur de chaque fraction de quantité. Détaille ton calcul.
a) Les $\frac{3}{4}$ de $60$ élèves.
b) Les $\frac{4}{5}$ de $200$ kilomètres.
c) Les $\frac{7}{10}$ de $500$ grammes.

Exercice 9 (Problème de la bibliothèque) :
Une bibliothèque de collège possède $1200$ livres. Les $\frac{2}{3}$ de ces livres sont des romans. Les $\frac{1}{4}$ de ces livres sont des bandes dessinées. Le reste est composé de documentaires.
a) Calcule le nombre de romans.
b) Calcule le nombre de bandes dessinées.
c) Déduis-en le nombre de documentaires.

Série 4 : Additions et Soustractions

Exercice 10 : Calcule les sommes et différences suivantes (les dénominateurs sont identiques).
a) $\frac{4}{9} + \frac{2}{9}$
b) $\frac{15}{7} – \frac{6}{7}$
c) $\frac{11}{14} + \frac{5}{14}$

Exercice 11 : Calcule en mettant d’abord au même dénominateur.
a) $\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$
b) $\frac{7}{10} – \frac{2}{5}$
c) $\frac{5}{6} + \frac{1}{3}$

Exercice 12 : Calcule avec un nombre entier. Astuce : rappelle-toi qu’un entier comme $3$ peut s’écrire $\frac{3}{1}$.
a) $1 + \frac{2}{5}$
b) $2 – \frac{1}{4}$
c) $5 + \frac{2}{3}$

Série 5 : Problèmes de la vie courante

Exercice 13 (Problème d’héritage) :
Un grand-père décide de partager une somme de $2400$ euros entre ses trois petits-enfants. Lucas reçoit le tiers de la somme. Emma reçoit le quart de la somme. Chloé reçoit le reste.
Calcule la somme exacte, en euros, que chaque enfant va recevoir.

Exercice 14 (Problème du réservoir) :
Le réservoir de la voiture de tes parents a une capacité totale de $60$ litres. La jauge sur le tableau de bord indique qu’il est rempli aux $\frac{3}{8}$.
Combien de litres d’essence y a-t-il actuellement dans le réservoir ?
Combien de litres manque-t-il pour faire le plein ?

Exercice 15 (Problème du marathon) :
Lors d’une course, Julien a parcouru les $\frac{4}{9}$ du trajet total avant de s’arrêter pour boire. Le parcours total fait $45$ kilomètres. Après avoir bu, il court encore $\frac{1}{3}$ du trajet total avant d’avoir une crampe.
a) Combien de kilomètres Julien a-t-il couru avant de boire ?
b) Combien de kilomètres a-t-il couru entre sa pause boisson et sa crampe ?
c) Quelle fraction du trajet total représente la distance qu’il lui reste à parcourir ?

Corrections détaillées étape par étape

C’est ici que tu vas vraiment progresser ! Une erreur n’est pas grave, ce qui compte c’est de comprendre pourquoi. Lis minutieusement chaque étape de ces corrections exhaustives.

Correction de la Série 1 : Vocabulaire et quotient

Correction de l’Exercice 1 :
a) La fraction $\frac{1}{2}$ se lit de manière spécifique : un demi.
b) La fraction $\frac{2}{3}$ fait également partie du vocabulaire spécifique, elle se lit : deux tiers.
c) La fraction $\frac{3}{4}$ se lit : trois quarts.
d) À partir de $5$ au dénominateur, on ajoute le suffixe « -ième ». La fraction $\frac{7}{10}$ se lit donc : sept dixièmes.

Correction de l’Exercice 2 :
La règle fondamentale nous dit qu’une division $a \div b$ s’écrit sous forme de fraction $\frac{a}{b}$. Le premier nombre va en haut (numérateur), le second en bas (dénominateur).
a) Le quotient $15 \div 4$ correspond à la fraction $\frac{15}{4}$.
b) Le quotient $7 \div 9$ correspond à la fraction $\frac{7}{9}$.
c) Le quotient $123 \div 100$ correspond à la fraction $\frac{123}{100}$.

Correction de l’Exercice 3 :
Pour trouver la valeur décimale, il faut effectuer la division posée du numérateur par le dénominateur.
a) Pour $\frac{3}{2}$, je calcule $3 \div 2$. Dans $3$, il y a une fois $2$, reste $1$. Je mets une virgule, j’ajoute un zéro, ce qui donne $10$. Dans $10$, il y a cinq fois $2$. Le résultat décimal est $1,5$.
b) Pour $\frac{1}{4}$, je calcule $1 \div 4$. Dans $1$, zéro fois $4$, reste $1$. Je mets la virgule et un zéro ($10$). Dans $10$, deux fois $4$ (ça fait $8$), reste $2$. J’ajoute un zéro ($20$). Dans $20$, cinq fois $4$ ($20$), reste $0$. Le résultat est $0,25$.
c) Pour $\frac{12}{5}$, je calcule $12 \div 5$. Dans $12$, deux fois $5$ ($10$), reste $2$. Je mets la virgule, j’ajoute un zéro ($20$). Dans $20$, quatre fois $5$ ($20$), reste $0$. Le résultat décimal est $2,4$.

Correction de la Série 2 : Égalités et simplifications

Correction de l’Exercice 4 :
Pour trouver le nombre manquant, il faut identifier le coefficient multiplicateur.
a) On regarde les dénominateurs : on passe de $5$ à $15$. Par quel nombre a-t-on multiplié ? $5 \times 3 = 15$. Selon la règle d’or, je dois obligatoirement multiplier le numérateur par $3$ également. Le calcul est $3 \times 3 = 9$. L’égalité complète est $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$.
b) On regarde les numérateurs : on passe de $7$ à $21$. Je sais que $7 \times 3 = 21$. Je dois donc multiplier le dénominateur par $3$. Le calcul est $8 \times 3 = 24$. L’égalité est $\frac{7}{8} = \frac{21}{24}$.
c) On regarde les numérateurs : on passe de $4$ à $40$. Je sais que $4 \times 10 = 40$. Je dois multiplier le dénominateur par $10$. Le calcul est $9 \times 10 = 90$. L’égalité est $\frac{4}{9} = \frac{40}{90}$.

Correction de l’Exercice 5 :
a) Pour simplifier $\frac{10}{14}$, je remarque que les deux nombres sont pairs (se terminent par $0, 2, 4, 6$ ou $8$). Je divise le haut et le bas par $2$. $10 \div 2 = 5$. $14 \div 2 = 7$. La fraction simplifiée est $\frac{5}{7}$.
b) Pour simplifier $\frac{15}{20}$, les nombres ne sont pas pairs. Par contre, ils se terminent par $5$ ou $0$, ils sont donc divisibles par $5$. Je divise par $5$. $15 \div 5 = 3$. $20 \div 5 = 4$. La fraction simplifiée est $\frac{3}{4}$.
c) Pour simplifier $\frac{30}{45}$, les nombres se terminent par $0$ et $5$, donc je divise par $5$. $30 \div 5 = 6$. $45 \div 5 = 9$. J’obtiens $\frac{6}{9}$. Attention, je peux encore simplifier ! $6$ et $9$ sont dans la table de $3$. Je divise par $3$. $6 \div 3 = 2$. $9 \div 3 = 3$. La fraction finale est $\frac{2}{3}$.

Correction de l’Exercice 6 :
a) Pour rendre $\frac{24}{32}$ irréductible, il faut trouver le plus grand diviseur commun. Soit je divise par $2$ plusieurs fois de suite (ça marche très bien), soit je connais très bien mes tables et je remarque que $24$ et $32$ sont tous les deux dans la table de $8$. $24 = 3 \times 8$ et $32 = 4 \times 8$. En divisant en haut et en bas par $8$, j’obtiens directement la fraction irréductible : $\frac{3}{4}$.
b) Pour $\frac{45}{60}$, je peux d’abord diviser par $5$ car ils finissent par $5$ et $0$. $45 \div 5 = 9$. $60 \div 5 = 12$. J’obtiens $\frac{9}{12}$. Ensuite, $9$ et $12$ sont dans la table de $3$. Je divise par $3$. $9 \div 3 = 3$. $12 \div 3 = 4$. La fraction irréductible est $\frac{3}{4}$. (Tu pouvais aussi diviser directement par 15 si tu avais l’œil !).
c) Pour $\frac{100}{150}$, il y a une technique très rapide : diviser par $10$ en barrant un zéro en haut et un zéro en bas. Cela donne $\frac{10}{15}$. Ensuite, on divise par $5$. $10 \div 5 = 2$ et $15 \div 5 = 3$. La fraction irréductible est $\frac{2}{3}$.

Correction de la Série 3 : Fractions d’une quantité

Correction de l’Exercice 7 :
a) Prendre la moitié signifie diviser par $2$. $50 \div 2 = $ $25$.
b) Prendre le tiers signifie diviser par $3$. $30 \div 3 = $ $10$.
c) Prendre le quart signifie diviser par $4$. $40 \div 4 = $ $10$.

Correction de l’Exercice 8 :
Il faut appliquer la règle : (Quantité $\div$ Dénominateur) $\times$ Numérateur.
a) Calculons les $\frac{3}{4}$ de $60$. Étape 1 : on divise la quantité $60$ par le dénominateur $4$. Le calcul $60 \div 4$ donne $15$ (la moitié de $60$ c’est $30$, et la moitié de $30$ c’est $15$). Étape 2 : on multiplie par le numérateur $3$. $15 \times 3 = 45$. Le résultat est $45$ élèves.
b) Calculons les $\frac{4}{5}$ de $200$. Étape 1 : on divise $200$ par $5$. Sachant que $20 \div 5 = 4$, alors $200 \div 5 = 40$. Étape 2 : on multiplie par $4$. Le calcul $40 \times 4$ donne $160$. Le résultat est $160$ kilomètres.
c) Calculons les $\frac{7}{10}$ de $500$. Étape 1 : diviser par $10$ est très facile, il suffit d’enlever un zéro. $500 \div 10 = 50$. Étape 2 : on multiplie ce résultat par $7$. Le calcul est $50 \times 7$. Comme $5 \times 7 = 35$, alors $50 \times 7 = 350$. Le résultat est $350$ grammes.

Correction de l’Exercice 9 :
C’est un problème classique en plusieurs étapes nécessitant beaucoup de rigueur.
a) Le nombre total de livres est de $1200$. On cherche les $\frac{2}{3}$ de $1200$. Je divise $1200$ par le dénominateur $3$. Je sais que $12 \div 3 = 4$, donc $1200 \div 3 = 400$. Ensuite, je multiplie par le numérateur $2$. Le calcul $400 \times 2 = 800$. Il y a donc $800$ romans dans la bibliothèque.
b) On cherche les $\frac{1}{4}$ de $1200$. Cela revient à diviser par $4$. Le calcul $1200 \div 4$. Je sais que $12 \div 4 = 3$, donc $1200 \div 4 = 300$. Il y a $300$ bandes dessinées.
c) Pour trouver le nombre de documentaires, il faut procéder par déduction logique. On calcule d’abord le nombre total de romans et de bandes dessinées réunis : $800 + 300 = 1100$ livres. Puisque la bibliothèque compte $1200$ livres au total, on fait une soustraction pour trouver le reste : $1200 – 1100 = 100$. Il y a donc $100$ documentaires.

Correction de la Série 4 : Additions et Soustractions

Correction de l’Exercice 10 :
La règle est simple car les dénominateurs sont déjà les mêmes : on additionne ou soustrait les numérateurs, et on garde le dénominateur commun.
a) $\frac{4}{9} + \frac{2}{9}$. Le dénominateur commun est $9$. Je calcule $4 + 2 = 6$. Le résultat est $\frac{6}{9}$. (Bonus pour les pros : on peut simplifier par 3, ce qui donne $\frac{2}{3}$).
b) $\frac{15}{7} – \frac{6}{7}$. Le dénominateur commun est $7$. Je calcule $15 – 6 = 9$. Le résultat est $\frac{9}{7}$.
c) $\frac{11}{14} + \frac{5}{14}$. Le dénominateur commun est $14$. Je calcule $11 + 5 = 16$. Le résultat est $\frac{16}{14}$. (Ici aussi, on peut simplifier par 2 : cela fait $\frac{8}{7}$).

Correction de l’Exercice 11 :
Ici, attention danger ! Les dénominateurs sont différents. Il faut obligatoirement transformer une fraction avant de calculer.
a) $\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$. Les dénominateurs sont $2$ et $4$. Je sais que $2 \times 2 = 4$. Je vais donc transformer $\frac{1}{2}$ en multipliant en haut et en bas par $2$. Cela donne $\frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4}$. Le calcul devient $\frac{2}{4} + \frac{3}{4}$. Maintenant qu’ils ont le même dénominateur, j’additionne $2+3=5$. Le résultat est $\frac{5}{4}$.
b) $\frac{7}{10} – \frac{2}{5}$. Les dénominateurs sont $10$ et $5$. Je sais que $5 \times 2 = 10$. Je transforme $\frac{2}{5}$ en multipliant par $2$ en haut et en bas : $\frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10}$. Le calcul devient $\frac{7}{10} – \frac{4}{10}$. Je calcule la différence des numérateurs $7 – 4 = 3$. Le résultat est $\frac{3}{10}$.
c) $\frac{5}{6} + \frac{1}{3}$. Les dénominateurs sont $6$ et $3$. Je sais que $3 \times 2 = 6$. Je transforme $\frac{1}{3}$ en la multipliant par $2$ en haut et en bas : $\frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$. Le calcul devient $\frac{5}{6} + \frac{2}{6}$. La somme donne $\frac{7}{6}$.

Correction de l’Exercice 12 :
Pour calculer avec un nombre entier, on le transforme d’abord en fraction sur le dénominateur « un » ($1$), puis on applique la méthode de mise au même dénominateur.
a) Calcul de $1 + \frac{2}{5}$. On écrit $\frac{1}{1} + \frac{2}{5}$. Pour avoir le dénominateur $5$, on multiplie le haut et le bas de la première fraction par $5$. Elle devient $\frac{5}{5}$. Le calcul est donc $\frac{5}{5} + \frac{2}{5} = $ $\frac{7}{5}$. (Logique : 1 unité entière correspond bien à 5 cinquièmes).
b) Calcul de $2 – \frac{1}{4}$. On écrit $\frac{2}{1} – \frac{1}{4}$. On multiplie par $4$ en haut et en bas pour transformer $\frac{2}{1}$. Cela donne $\frac{8}{4}$. Le calcul devient $\frac{8}{4} – \frac{1}{4} = $ $\frac{7}{4}$.
c) Calcul de $5 + \frac{2}{3}$. On écrit $\frac{5}{1} + \frac{2}{3}$. On multiplie par $3$ en haut et en bas pour avoir le dénominateur commun. $\frac{5 \times 3}{1 \times 3} = \frac{15}{3}$. Le calcul devient $\frac{15}{3} + \frac{2}{3}$. On additionne les numérateurs : $15 + 2 = 17$. Le résultat final est $\frac{17}{3}$.

Correction de la Série 5 : Problèmes de la vie courante

Correction de l’Exercice 13 :
Calculons séparément la part de chaque enfant par rapport à la somme totale de $2400$ euros.
Pour Lucas : il reçoit le tiers, soit $\frac{1}{3}$ de $2400$. Le calcul est $2400 \div 3$. Comme $24 \div 3 = 8$, alors $2400 \div 3 = 800$. Lucas reçoit $800$ euros.
Pour Emma : elle reçoit le quart, soit $\frac{1}{4}$ de $2400$. Le calcul est $2400 \div 4$. Comme $24 \div 4 = 6$, alors $2400 \div 4 = 600$. Emma reçoit $600$ euros.
Pour Chloé : elle reçoit le reste. Il faut d’abord calculer ce que les deux premiers ont reçu ensemble : $800 + 600 = 1400$ euros. Ensuite, on soustrait cette somme au montant total de l’héritage : $2400 – 1400 = 1000$ euros. Chloé reçoit donc $1000$ euros.

Correction de l’Exercice 14 :
Ce problème mêle calcul de fraction d’une quantité et logique de vie quotidienne.
Première question : Il faut calculer les $\frac{3}{8}$ de $60$ litres. J’utilise la méthode : (Quantité $\div$ Dénominateur) $\times$ Numérateur. Le calcul $60 \div 8$ ne tombe pas sur un entier évident de tête. Je pose la division : $60 \div 8 = 7,5$. Un huitième du réservoir vaut $7,5$ litres. Ensuite, je multiplie par le numérateur $3$. $7,5 \times 3 = 22,5$. Il y a actuellement $22,5$ litres d’essence dans le réservoir.
Deuxième question : Pour savoir combien il manque pour faire le plein, je dois soustraire la quantité actuelle à la capacité totale. Le calcul est $60 – 22,5$. Je pose la soustraction $60,0 – 22,5$, avec les retenues, et j’obtiens $37,5$. Il manque donc $37,5$ litres pour remplir complètement le réservoir.

Correction de l’Exercice 15 :
Ce problème en trois étapes est d’un excellent niveau pour terminer.
a) Calcul de la première partie du trajet de Julien : les $\frac{4}{9}$ de $45$ km. Je divise $45$ par $9$, ce qui donne $5$. Puis je multiplie par $4$, ce qui donne $20$. Julien a donc couru $20$ kilomètres avant de s’arrêter pour boire.
b) Calcul de la deuxième partie : il court encore un tiers du trajet total (pas du reste, bien lire l’énoncé !). Je dois donc calculer $\frac{1}{3}$ de $45$ km. Je divise $45$ par $3$, ce qui donne $15$. Julien a couru $15$ kilomètres supplémentaires après sa pause.
c) Quelle fraction reste-t-il ? On peut utiliser plusieurs méthodes. Méthode la plus mathématique : Julien a couru en fractions $\frac{4}{9} + \frac{1}{3}$ du trajet. Je mets au même dénominateur (je multiplie $\frac{1}{3}$ par $3$ en haut et en bas pour avoir des neuvièmes). $\frac{1 \times 3}{3 \times 3} = \frac{3}{9}$. J’additionne : $\frac{4}{9} + \frac{3}{9} = \frac{7}{9}$. Julien a couru en tout les $\frac{7}{9}$ du trajet total. L’ensemble du trajet représente l’unité complète, soit $\frac{9}{9}$. Le reste est donc la différence $\frac{9}{9} – \frac{7}{9} = \frac{2}{9}$. Il lui reste donc exactement $\frac{2}{9}$ du trajet total à parcourir. (On peut vérifier avec les kilomètres : total parcouru = $20 + 15 = 35$ km. Reste $45 – 35 = 10$ km. Est-ce que $\frac{2}{9}$ de $45$ fait $10$ ? Oui, $45 \div 9 = 5$, et $5 \times 2 = 10$ ! La vérification est parfaite).