Géométrie des Boules Unités
La « forme » d’un espace vectoriel normé est entièrement capturée par la norme choisie. La meilleure façon de visualiser la géométrie induite par une norme est d’étudier la forme de sa boule unité. C’est l’ensemble de tous les vecteurs considérés comme « petits », c’est-à-dire de longueur inférieure ou égale à 1.
Soit $(E, \| \cdot \|)$ un espace vectoriel normé.
- La boule unité ouverte est l’ensemble $B(0_E, 1) = \{x \in E \mid \|x\| < 1\}$.
- La boule unité fermée est l’ensemble $\bar{B}(0_E, 1) = \{x \in E \mid \|x\| \le 1\}$.
Par convention, quand on parle de « la » boule unité, on fait souvent référence à la boule unité fermée.
Visualisation dans $\mathbb{R}^2$
Dans le plan $\mathbb{R}^2$, la forme de la boule unité fermée change radicalement en fonction de la norme choisie.
- Pour la norme euclidienne $\| \cdot \|_2$ : La boule unité est l’ensemble des points $(x,y)$ tels que $\sqrt{x^2 + y^2} \le 1$, ce qui équivaut à $x^2 + y^2 \le 1$. C’est le disque usuel centré à l’origine.
- Pour la norme 1 $\| \cdot \|_1$ : La boule unité est l’ensemble des points $(x,y)$ tels que $|x| + |y| \le 1$. C’est un carré dont les sommets sont $(1,0), (0,1), (-1,0)$ et $(0,-1)$.
- Pour la norme infinie $\| \cdot \|_\infty$ : La boule unité est l’ensemble des points $(x,y)$ tels que $\max(|x|, |y|) \le 1$. C’est un carré dont les côtés sont parallèles aux axes, avec les sommets $(1,1), (-1,1), (-1,-1)$ et $(1,-1)$.
Quelle que soit la norme, la boule unité fermée d’un espace vectoriel normé est toujours une partie convexe, symétrique par rapport à l’origine, bornée et fermée.