Géométrie hyperbolique
La géométrie hyperbolique est une géométrie non euclidienne où le postulat des parallèles est remplacé par l’existence d’une infinité de droites parallèles à une droite donnée passant par un point extérieur. Elle repose sur un espace métrique de courbure constante négative.
Définitions formelles
Espace hyperbolique standard
On definit le demi-supérieur de Poincaré :
$$ \mathbb{H} = \{ z = x + iy \in \mathbb{C} \mid y > 0 \} $$
La métrique riemannienne induite est :
$$ ds^2 = \frac{dx^2 + dy^2}{y^2} $$
La distance entre deux points $z_1, z_2 \in \mathbb{H}$ est :
$$ d(z_1, z_2) = \operatorname{arccosh}\left(1 + \frac{|z_1 – z_2|^2}{2\,\operatorname{Im}(z_1)\operatorname{Im}(z_2)}\right) $$
Géodésiques
Les géodésiques de $(\mathbb{H}, ds)$ sont les cercles ou droites orthogonaux à la frontière $\mathbb{R}$.
Plus généralement, toute isométrie de $\mathbb{H}$ est une transformation de Möbius à coefficients réels :
$$ z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}, \quad a,b,c,d \in \mathbb{R},\ ad – bc = 1. $$
Théorèmes fondamentaux
Théorème d’unicité des géodésiques
Enoncé : Deux points distincts de $\mathbb{H}$ sont reliés par une unique géodésique.
Preuve : Soient $z_1, z_2 \in \mathbb{H}$. Il existe un unique cercle (ou droite) orthogonal à $\mathbb{R}$ passant par $z_1$ et $z_2$. En effet, l’orthogonalité impose que le centre du cercle soit réel. L’équation du cercle $(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$ avec $b=0$ (car orthogonal à $\mathbb{R}$) et $a,r$ déterminés par les deux points. Le système admet une unique solution. Cette courbe est une géodésique. $\blacksquare$
Théorème de l’angle nul
Enoncé : Si deux géodésiques ont une même limite idéale sur $\partial\mathbb{H}$, alors leur angle en un point commun tend vers $0$当 on s’approche de la frontière.
Preuve : Considérons deux géodésiques correspondant à des cercles orthogonaux à $\mathbb{R}$ partageant un point $p \in \partial\mathbb{H}$. Leur angle en un point $z \in \mathbb{H}$ est l’angle entre les rayons des cercles en $z$. Lorsque $z \to p$, les rayons deviennent tangents à $\mathbb{R}$ en $p$, donc l’angle tend vers $0$. $\blacksquare$
Exemples et contre-exemples
Distance entre deux points
Soient $z_1 = i$ et $z_2 = 2i$ dans $\mathbb{H}$. Alors :
$$ d(i, 2i) = \operatorname{arccosh}\left(1 + \frac{|i – 2i|^2}{2 \cdot 1 \cdot 2}\right) = \operatorname{arccosh}\left(1 + \frac{1}{4}\right) = \operatorname{arccosh}\left(\frac{5}{4}\right). $$
Cette distance est strictement supérieure à la distance euclidienne $|i-2i|=1$.
Somme des angles d’un triangle
Théorème : Dans tout triangle hyperbolique, la somme des angles intérieurs est strictement inférieure à $\pi$.
Preuve : On utilise la formule de l’aire : $\operatorname{aire} = \pi – (\alpha+\beta+\gamma)$. Comme l’aire est positive, on a $\alpha+\beta+\gamma < \pi$. $\blacksquare$
Contre-exemple : Un triangle rectangle dont les deux angles aigus valent $\frac{\pi}{6}$ chacun a une somme $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} < \pi$. En géométrie euclidienne, cette somme vaudrait $\pi$.
Pour approfondir
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