Définition formelle des homéomorphismes
Soient \( E \) et \( F \) deux espaces topologiques. Une application \( f : E \to F \) est un homéomorphisme si elle remplit trois conditions simultanées.
Définition rigoureuse
Une bijection \( f : E \to F \) est un homéomorphisme si et seulement si \( f \) et son inverse \( f^{-1} : F \to E \) sont continues.
Cette définition impose donc une équivalence forte entre les structures topologiques des deux espaces.
Propriétés fondamentales
La relation d’homéomorphisme est une relation d’équivalence sur la classe des espaces topologiques.
Invariance des propriétés topologiques
Si \( f : E \to F \) est un homéomorphisme, alors \( E \) et \( F \) partagent toutes les propriétés topologiques. Ces propriétés sont dites invariantes par homéomorphisme.
Exemples d’invariants : connexité, compacité, séparabilité, nombre composantes connexes, groupe fondamental.
Composition et stabilité
La composition de deux homéomorphismes est un homéomorphisme. L’inverse d’un homéomorphisme est un homéomorphisme.
Soient \( f: E \to F \) et \( g: F \to G \) homéomorphismes. Alors \( g \circ f: E \to G \) est un homéomorphisme.
Théorèmes centraux
Les théorèmes suivants sont fondamentaux pour la classification des espaces via les homéomorphismes.
Théorème d’invariance du domaine
Soit \( U \) un ouvert de \( \mathbb{R}^n \) et \( f: U \to \mathbb{R}^n \) une injection continue. Alors \( f(U) \) est un ouvert de \( \mathbb{R}^n \) et \( f \) est un homéomorphisme de \( U \) sur \( f(U) \).
Ce théorème, dû à Brouwer, a des conséquences profondes. Il implique par exemple que \( \mathbb{R}^n \) n’est pas homéomorphe à \( \mathbb{R}^m \) si \( n \neq m \).
Théorème de classification des droites réelles
Tout intervalle non vide et connexe de \( \mathbb{R} \) est homéomorphe à l’un des intervalles standards : \( ]0,1[ \), \( [0,1[ \), \( [0,1] \), \( \mathbb{R} \).
Preuves et démonstrations
Nous établissons ici la preuve que la relation d’homéomorphisme est bien une relation d’équivalence.
Preuve : Homéomorphisme comme relation d’équivalence
Soit \( \mathcal{E} \) l’ensemble des espaces topologiques.
Réflexivité. Pour tout \( E \in \mathcal{E} \), l’identité \( \text{id}_E : E \to E \) est continue et bijective. Son inverse est elle-même, donc continue. Ainsi \( \text{id}_E \) est un homéomorphisme. Donc \( E \) est homéomorphe à lui-même.
Symétrie. Soit \( f: E \to F \) un homéomorphisme. Alors \( f \) est bijective et continue. Par définition, \( f^{-1} \) est continue. Donc \( f^{-1}: F \to E \) est un homéomorphisme. Ainsi, si \( E \) est homéomorphe à \( F \), alors \( F \) est homéomorphe à \( E \).
Transitivité. Soient \( f: E \to F \) et \( g: F \to G \) des homéomorphismes. Alors \( g \circ f: E \to G \) est bijective (composition de bijections). De plus, \( f \) et \( g \) sont continues, donc \( g \circ f \) est continue. Enfin, \( (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} \) est composition de deux applications continues, donc continue. Par conséquent, \( g \circ f \) est un homéomorphisme. Si \( E \approx F \) et \( F \approx G \), alors \( E \approx G \).
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Exemples et contre-exemples
La distinction entre continuité, bijection continue et homéomorphisme est cruciale.
Exemples d’homéomorphismes classiques
L’application \( f: ]0,1[ \to \mathbb{R} \) définie par \( f(x) = \tan\left(\pi\left(x-\frac{1}{2}\right)\right) \) est un homéomorphisme.
L’application exponentielle complexe \( \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C}^* \) n’est pas un homéomorphisme car elle n’est pas injective. Restreinte à une bande de largeur \( 2\pi \), elle le devient.
La projection \( p: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \), \( (x,y) \mapsto x \), n’est pas un homéomorphisme car elle n’est pas injective.
Contre-exemple : bijection continue sans inverse continue
Considérons \( f: [0,2\pi[ \to S^1 \) (cercle unité) définie par \( f(t) = (\cos t, \sin t) \).
\( f \) est continue et bijective. Mais \( f^{-1} \) n’est pas continue en \( (1,0) \). En effet, toute nation de \( (1,0) \) contient des points correspondant à des \( t \) proches de \( 0 \) et de \( 2\pi \). L’image inverse ne peut être un intervalle de \( [0,2\pi[ \). Donc \( f \) n’est pas un homéomorphisme.
Cela illustre que la continuité de l’inverse est essentielle.
Applications et implications
La notion d’homéomorphisme est le cœur de la topologie algébrique et géométrique. Elle permet de classifier les espaces à homéomorphisme près.
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