Idéal d’un ensemble algébrique
L’idéal d’un ensemble algébrique est une construction fondamentale en géométrie algébrique, reliant l’algèbre commutative à la géométrie. Il formalise l’ensemble des équations polynomiales vérifiées par tous les points d’une variété.
Définition formelle
Soient $k$ un corps commutatif et $A = k[x_1, \dots, x_n]$ l’algèbre des polynômes à $n$ indéterminées sur $k$. Un ensemble algébrique affine $X \subseteq k^n$ est un ensemble de points défini par l’annulation simultanée d’une famille de polynômes.
L’idéal d’un ensemble algébrique $X$ est l’idéal de $A$ défini par :
Autrement dit, $I(X)$ est l’ensemble de tous les polynômes qui s’annulent en tout point de $X$.
Théorèmes et propriétés fondamentales
L’idéal $I(X)$ possède des propriétés algébriques essentielles.
Théorème 1 (Nullstellensatz faible). Si $k$ est algébriquement clos et $X$ un ensemble algébrique affine non vide, alors $I(X)$ est un idéal radical de $A$.
Théorème 2 (Correspondance de Nullstellensatz). Pour $k$ algébriquement clos, les applications $X \mapsto I(X)$ et $J \mapsto V(J)$ (variété définie par $J$) établissent une bijection inverse entre :
- Les sous-ensembles algébriques de $k^n$,
- Les idéaux radicaux de $A$.
Preuves rigoureuses
Preuve que $I(X)$ est un idéal.
Soient $f, g \in I(X)$ et $h \in A$. Pour tout $P \in X$, on a $(f+g)(P) = f(P)+g(P) = 0+0 = 0$, donc $f+g \in I(X)$. De plus, $(h \cdot f)(P) = h(P) \cdot f(P) = h(P) \cdot 0 = 0$, ainsi $h \cdot f \in I(X)$. Par conséquent, $I(X)$ est un idéal de $A$. $\blacksquare$
Preuve du Nullstellensatz faible (cas algébriquement clos).
Supposons $k$ algébriquement clos. Montrons que si $f \notin I(X)$, alors $\sqrt{I(X)} \neq I(X)$. Par contraposée, supposons $f \in \sqrt{I(X)} \setminus I(X)$. Alors $f^m \in I(X)$ pour un entier $m$, mais $f(P_0) \neq 0$ pour un certain $P_0 \in X$. On a $f^m(P_0) \neq 0$, contradiction. Ainsi $I(X)$ est radical. $\blacksquare$
Exemples et contre-exemples
Exemple 1 : Dans $\mathbb{R}[x,y]$, soit $X = \{(0,0)\}$. Alors $I(X) = (x,y)$ car un polynôme $f$ s’annule en $(0,0)$ iff ses coefficients constant et linéaires sont nuls.
Exemple 2 : Dans $k[x]$, $X = \{a_1, \dots, a_r\}$. Alors $I(X) = ( (x-a_1)\cdots(x-a_r) )$ si $k$ est infini.
Contre-exemple : Si $k = \mathbb{R}$ et $X = \{ (x,y) \mid x^2+y^2=1 \}$, alors $I(X) = (x^2+y^2-1)$ n’est pas radical car $\sqrt{(x^2+y^2-1)} = (x^2+y^2-1)$ dans $\mathbb{R}[x,y]$ (car l’idéal est déjà radical). En revanche, dans $\mathbb{C}[x,y]$, c’est le même idéal et il est radical. Mais attention : l’ensemble réel n’est pas algébrique sur $\mathbb{R}$ au sens strict ? En fait, l’ensemble réel est algébrique, mais le Nullstellensatz nécessite un corps algébriquement clos. Le calcul de l’idéal sur $\mathbb{R}$ donne le même générateur, mais la correspondance bijective n’est valable que sur $\mathbb{C}$.
Applications et étendue du concept
La notion d’idéal d’un ensemble algébrique permet de :
- Classifier les variétés algébriques par leurs idéaux.
- Définir la dimension d’une variété via la hauteur de l’idéal.
- Établir le lien entre propriétés géométriques (comme l’irréductibilité) et propriétés algébriques (idéal premier).
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