Image d’un Connexe par une Application Continue
Tout comme la compacité, la connexité est une propriété topologique qui est préservée par les applications continues. Ce résultat est d’une importance capitale car il constitue la généralisation du célèbre théorème des valeurs intermédiaires à un cadre beaucoup plus large.
L’image d’un ensemble connexe par une application continue est un ensemble connexe.
Soient $(X, \mathcal{T}_X)$ et $(Y, \mathcal{T}_Y)$ deux espaces topologiques. Si $A$ est une partie connexe de $X$ et $f: X \to Y$ est une application continue, alors l’image $f(A)$ est une partie connexe de $Y$.
Intuitivement, si vous prenez un objet « d’un seul tenant » (un connexe) et que vous le déformez « sans le déchirer » (application continue), l’objet que vous obtenez à l’arrivée sera toujours « d’un seul tenant ».
Le Théorème des Valeurs Intermédiaires
La conséquence la plus directe et la plus connue de ce théorème est la généralisation du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI).
Soit $f$ une fonction continue d’un espace topologique connexe $X$ à valeurs dans $\mathbb{R}$. Alors l’image $f(X)$ est un intervalle de $\mathbb{R}$.
Cela signifie que pour tous $a, b \in X$, la fonction $f$ prend toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$.
Application Classique
Soit $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue.
- L’espace de départ, l’intervalle $[a, b]$, est une partie connexe de $\mathbb{R}$.
- La fonction $f$ est continue.
- D’après le théorème fondamental, l’image $f([a, b])$ est une partie connexe de $\mathbb{R}$.
- Or, les seules parties connexes non vides de $\mathbb{R}$ sont les intervalles.
- Par conséquent, l’image $f([a, b])$ est un intervalle.