Image d’un Compact par une Fonction Continue
C’est l’un des résultats les plus fondamentaux de l’analyse. Il établit que la compacité, une propriété topologique essentielle, est préservée par les applications continues. Autrement dit, une fonction continue ne peut pas « déchirer » ou « étirer à l’infini » un ensemble compact.
Soit $f: A \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n$ une fonction continue.
Si $K$ est une partie compacte de $A$, alors son image $f(K) = \{ f(x) \mid x \in K \}$ est une partie compacte de $\mathbb{R}^n$.
Démonstration du Théorème
La démonstration la plus élégante utilise la définition de la compacité par les recouvrements d’ouverts (définition de Borel-Lebesgue) et la caractérisation topologique de la continuité.
- Soit $K$ un compact dans $A \subset \mathbb{R}^p$ et $f: A \to \mathbb{R}^n$ une application continue. Nous voulons montrer que $f(K)$ est compact.
- Utilisons la définition de Borel-Lebesgue : soit $(V_i)_{i \in I}$ une famille quelconque d’ensembles ouverts de $\mathbb{R}^n$ qui recouvre $f(K)$. $$ f(K) \subset \bigcup_{i \in I} V_i $$
- Pour chaque ouvert $V_i$ de $\mathbb{R}^n$, considérons son image réciproque par $f$, notée $U_i = f^{-1}(V_i)$. Par définition de la continuité (caractérisation topologique), chaque $U_i$ est un ouvert de $A$ (et donc de $\mathbb{R}^p$).
- Montrons que la famille $(U_i)_{i \in I}$ est un recouvrement ouvert de $K$.
Soit $x$ un point quelconque de $K$. Alors $f(x)$ est un point de $f(K)$. Puisque les $V_i$ recouvrent $f(K)$, il existe un indice $j \in I$ tel que $f(x) \in V_j$.
Par définition de l’image réciproque, cela signifie que $x \in f^{-1}(V_j) = U_j$.
Ceci étant vrai pour tout $x \in K$, on a bien : $$ K \subset \bigcup_{i \in I} U_i $$ - Nous avons donc un recouvrement ouvert de $K$. Or, $K$ est compact. Par définition, on peut donc extraire de ce recouvrement un sous-recouvrement fini. Il existe un sous-ensemble fini d’indices $J = \{j_1, \dots, j_m\} \subset I$ tel que : $$ K \subset U_{j_1} \cup \dots \cup U_{j_m} $$
- Appliquons la fonction $f$ à cette inclusion. L’image d’une union est l’union des images : $$ f(K) \subset f(U_{j_1} \cup \dots \cup U_{j_m}) = f(U_{j_1}) \cup \dots \cup f(U_{j_m}) $$ Par définition de l’image réciproque, on a toujours $f(f^{-1}(V)) \subset V$. Donc $f(U_{j_k}) \subset V_{j_k}$ pour chaque $k$. On a donc : $$ f(K) \subset V_{j_1} \cup \dots \cup V_{j_m} $$
- Nous sommes partis d’un recouvrement ouvert quelconque de $f(K)$ et nous avons montré qu’on pouvait en extraire un sous-recouvrement fini. C’est exactement la définition d’un ensemble compact.
Donc, $f(K)$ est compact.
Conséquences et Applications
Ce théorème a des conséquences pratiques majeures, en particulier pour les fonctions à valeurs réelles.
Soit $K$ une partie compacte non vide de $\mathbb{R}^p$ et $f: K \to \mathbb{R}$ une fonction continue.
Alors $f$ est bornée et atteint ses bornes sur $K$. C’est-à-dire qu’il existe deux points $a, b \in K$ tels que :
$$ \forall x \in K, \quad f(a) \le f(x) \le f(b) $$
On note $f(a) = \min_{x \in K} f(x)$ et $f(b) = \max_{x \in K} f(x)$.
Comme $f$ est continue et $K$ est compact, l’image $f(K)$ est un compact de $\mathbb{R}$.
D’après le théorème de Borel-Lebesgue dans $\mathbb{R}$, un compact est un ensemble fermé et borné.
Puisque $f(K)$ est borné, la fonction $f$ est bornée.
Puisque $f(K)$ est un sous-ensemble non vide et borné de $\mathbb{R}$, il admet une borne supérieure $M = \sup(f(K))$ et une borne inférieure $m = \inf(f(K))$.
Puisque $f(K)$ est de plus un ensemble fermé, il contient ses bornes. Donc $m \in f(K)$ et $M \in f(K)$.
Par définition de l’image, cela signifie qu’il existe $a, b \in K$ tels que $m = f(a)$ et $M = f(b)$. Ces bornes sont donc des minimum et maximum, et elles sont atteintes.
Application en Optimisation
Ce théorème est le fondement de nombreux problèmes d’optimisation. Il garantit que si l’on cherche le maximum ou le minimum d’une fonction continue (une fonction de coût, de profit, d’erreur, etc.) sur un domaine de recherche fermé et borné (un compact), alors une solution existe.