Images Directe et Réciproque de Sous-Groupes
Les morphismes de groupes ont la propriété remarquable de « transporter » la structure de sous-groupe d’un espace à l’autre. L’image d’un sous-groupe est un sous-groupe, et l’image réciproque d’un sous-groupe est également un sous-groupe.
Soit $f: G \to H$ un morphisme de groupes.
Si $G_1$ est un sous-groupe de $G$, alors son image directe, $f(G_1)$, est un sous-groupe de $H$.
Cas particulier : En prenant $G_1 = G$, on retrouve que l’image du morphisme, $\text{Im}(f) = f(G)$, est un sous-groupe de l’espace d’arrivée $H$.
Soit $f: G \to H$ un morphisme de groupes.
Si $H_1$ est un sous-groupe de $H$, alors son image réciproque, $f^{-1}(H_1)$, est un sous-groupe de $G$.
Cas particulier : En prenant $H_1 = \{e_H\}$ (le sous-groupe trivial de $H$), on retrouve que le noyau du morphisme, $\ker(f) = f^{-1}(\{e_H\})$, est un sous-groupe de l’espace de départ $G$.
Exemple
Considérons le morphisme signature $\varepsilon: (\mathcal{S}_3, \circ) \to (\{-1, 1\}, \times)$.
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Image directe : Soit $G_1 = \{Id, (1 \ 2 \ 3), (1 \ 3 \ 2)\}$ le sous-groupe des permutations paires de $\mathcal{S}_3$. L’image directe est :
$\varepsilon(G_1) = \{\varepsilon(Id), \varepsilon((1 \ 2 \ 3)), \varepsilon((1 \ 3 \ 2))\} = \{1, 1, 1\} = \{1\}$.
L’ensemble $\{1\}$ est bien un sous-groupe de $(\{-1, 1\}, \times)$. -
Image réciproque : Soit $H_1 = \{1\}$ le sous-groupe trivial de $(\{-1, 1\}, \times)$. L’image réciproque est l’ensemble des permutations de $\mathcal{S}_3$ dont la signature est 1 :
$\varepsilon^{-1}(\{1\}) = \{Id, (1 \ 2 \ 3), (1 \ 3 \ 2)\} = \mathcal{A}_3$.
Cet ensemble est le groupe alterné $\mathcal{A}_3$, qui est bien un sous-groupe de $\mathcal{S}_3$. Il s’agit du noyau du morphisme signature.