L’inégalité de Cauchy-Schwarz hermitienne est un résultat fondamental en analyse fonctionnelle et en algèbre linéaire. Elle généralise l’inégalité classique de Cauchy-Schwarz aux espaces vectoriels munis d’un produit scalaire hermitien.

Définition d’un espace hermitien

Un espace hermitien (ou espace pré-hilbertien complexe) est un espace vectoriel $E$ sur $\mathbb{C}$ muni d’une application $\langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to \mathbb{C}$ vérifiant :

• $\langle u, v \rangle = \overline{\langle v, u \rangle}$ (hermitianité) ;
• $\langle \alpha u + \beta v, w \rangle = \alpha \langle u, w \rangle + \beta \langle v, w \rangle$ (linéarité au premier argument) ;
• $\langle u, u \rangle \ge 0$ et $\langle u, u \rangle = 0 \iff u = 0$ (positivité).

La norme associée est $\|u\| = \sqrt{\langle u, u \rangle}$.

Inégalité de Cauchy-Schwarz hermitienne

Le théorème s’énonce ainsi :

Cette inégalité implique directement $|\langle u, v \rangle|^2 \le \langle u, u \rangle \langle v, v \rangle$. Elle est essentielle pour dériver de nombreuses autres inégalités, comme l’inégalité de Hölder.

Preuve rigoureuse

Preuve : Supposons $v \neq 0$ (sinon l’inégalité est triviale). Considérons le vecteur
$$ w = u – \frac{\langle u, v \rangle}{\langle v, v \rangle} v. $$
On calcule son produit scalaire avec $v$ :

$$
\begin{aligned}
\langle w, v \rangle
&= \left\langle u – \frac{\langle u, v \rangle}{\langle v, v \rangle} v,\, v \right\rangle \\[0.2em]
&= \langle u, v \rangle – \frac{\langle u, v \rangle}{\langle v, v \rangle} \langle v, v \rangle \\[0.2em]
&= \langle u, v \rangle – \langle u, v \rangle = 0.
\end{aligned}
$$

Ainsi $w \perp v$. Par la relation de Pythagore dans un espace hermitien :

$$
\begin{aligned}
\|u\|^2
&= \left\| u – \frac{\langle u, v \rangle}{\langle v, v \rangle} v \right\|^2 + \left\| \frac{\langle u, v \rangle}{\langle v, v \rangle} v \right\|^2 \\[0.2em]
&= \|w\|^2 + \frac{|\langle u, v \rangle|^2}{\|\langle v, v \rangle|^2} \|v\|^2 \\[0.2em]
&= \|w\|^2 + \frac{|\langle u, v \rangle|^2}{\|v\|^4} \|v\|^2 \\[0.2em]
&= \|w\|^2 + \frac{|\langle u, v \rangle|^2}{\|v\|^2}.
\end{aligned}
$$

Comme $\|w\|^2 \ge 0$, on obtient $\|u\|^2 \ge |\langle u, v \rangle|^2 / \|v\|^2$, soit $|\langle u, v \rangle| \le \|u\| \, \|v\|$. $\blacksquare$

Exemples et contre-exemples

Exemple 1. Dans $\mathbb{C}^n$ muni du produit scalaire hermitien standard
$\langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^n x_k \overline{y_k}$.
Pour $x = (1, i)$ et $y = (i, 1)$, on a
$\langle x, y \rangle = 1\cdot\overline{i} + i\cdot\overline{1} = -i + i = 0$,
$\|x\| = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$, $\|y\| = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
L’inégalité donne $0 \le \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$, ce qui est vérifié.

Exemple 2. Dans $L^2([0,1])$ avec $\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(t)\overline{g(t)}\,dt$,
pour $f(t)=t$ et $g(t)=t^2$, on calcule
$|\langle f,g \rangle| = \left|\int_0^1 t^3 dt\right| = 1/4$,
$\|f\| = \sqrt{\int_0^1 t^2 dt} = 1/\sqrt{3}$,
$\|g\| = \sqrt{\int_0^1 t^4 dt} = 1/\sqrt{5}$.
L’inégalité donne $1/4 \le \sqrt{1/15} \approx 0.258$, vrai.

Contre-exemple. Si le produit scalaire n’est pas hermitien, l’inégalité peut échouer. Sur $\mathbb{C}^2$, définissons $\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2$ (produit bilinéaire complexe sans conjugaison). Prenons $u=(1,0)$, $v=(0,1)$. Alors $\langle u,v \rangle = 0$, mais l’inégalie reste vraie ici ? Pas de contre-exemple évident. Mieux : prenons un produit non défini positif, comme en relativité restreinte : sur $\mathbb{R}^4$, le pseudo-produit scalaire $q(u,v)=u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 – u_4 v_4$. Pour $u=(1,0,0,1)$ et $v=(1,0,0,1)$, $q(u,u)=1-1=0$, mais si on prend $v=(2,0,0,1)$, $q(u,v)=2-1=1$, $\sqrt{|q(u,u)|}=0$, $\sqrt{|q(v,v)|}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$, alors $|q(u,v)|=1 > 0\times\sqrt{3}=0$. L’inégalité de Cauchy-Schwarz nécessite la positivité du produit.

Cas d’égalité

L’égalité $|\langle u, v \rangle| = \|u\|\|v\|$ a lieu si et seulement si $u$ et $v$ sont linéairement dépendants (c’est-à-dire $u = \lambda v$ pour un $\lambda \in \mathbb{C}$, ou l’un des deux est le vecteur nul).

Preuve du cas d’égalité : Dans la preuve précédente, l’égalité $\|u\|^2 = |\langle u, v \rangle|^2 / \|v\|^2$ équivaut à $\|w\|^2 = 0$, donc $w = 0$, soit $u = \frac{\langle u, v \rangle}{\langle v, v \rangle} v$. Réciproquement, si $u = \lambda v$, alors $|\langle u, v \rangle| = |\lambda| \|v\|^2$ et $\|u\|\|v\| = |\lambda| \|v\|^2$. $\blacksquare$

Ressources complémentaires

Pour approfondir et exercer vos connaissances en mathématiques supérieures, consultez les cours et exercices de mathématiques supérieur, licence, prépa. Des approfondissements sur les espaces hermitiens sont également disponibles sur le site Culture Math de l’ENS.