L’inégalité de Minkowski est la généralisation de l’inégalité triangulaire aux espaces vectoriels normés, et plus spécifiquement aux espaces $L^p$.
- L’inégalité triangulaire classique pour les nombres complexes nous dit que $|x+y| \le |x| + |y|$. Pour les vecteurs dans $\mathbb{R}^n$, elle dit que la longueur d’un côté d’un triangle est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés.
- En analyse, on travaille souvent avec des objets plus généraux que les vecteurs, comme des suites ou des fonctions. Les espaces $L^p$ sont des ensembles de ces objets pour lesquels une certaine « taille » ou « norme » est finie.
L’inégalité de Minkowski établit que la « norme $p$ » de la somme de deux objets est inférieure ou égale à la somme de leurs normes $p$. C’est la propriété qui confirme que la norme $L^p$ est bien une norme.
Soit $p$ un nombre réel tel que $1 \le p < \infty$.
1. Pour les vecteurs (ou les suites) :
Soient $x = (x_1, \dots, x_n)$ et $y = (y_1, \dots, y_n)$ deux vecteurs dans $\mathbb{C}^n$. Alors :
$$ \left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p} $$
2. Pour les fonctions (cas intégral) :
Soit $(X, \mathcal{M}, \mu)$ un espace mesuré. Soient $f$ et $g$ deux fonctions mesurables de $X$ dans $\mathbb{C}$. Alors :
$$ \left( \int_X |f(t) + g(t)|^p \,d\mu(t) \right)^{1/p} \le \left( \int_X |f(t)|^p \,d\mu(t) \right)^{1/p} + \left( \int_X |g(t)|^p \,d\mu(t) \right)^{1/p} $$
En notation plus compacte, cela s’écrit : $\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p$.
Idée de la Démonstration
La démonstration de l’inégalité de Minkowski n’est pas directe. Elle repose de manière cruciale sur une autre inégalité fondamentale de l’analyse : l’inégalité de Hölder.
- On commence par écrire $|f+g|^p = |f+g| \cdot |f+g|^{p-1}$.
- On utilise l’inégalité triangulaire simple : $|f+g| \le |f| + |g|$. Cela donne : $$ |f+g|^p \le |f| \cdot |f+g|^{p-1} + |g| \cdot |f+g|^{p-1} $$
- On intègre cette relation. Le terme de gauche devient $\|f+g\|_p^p$.
- On applique l’inégalité de Hölder à chacun des deux termes de droite. C’est l’étape clé qui permet de séparer les normes et de conclure.
Importance Fondamentale
- Fondement de l’Analyse Fonctionnelle : Cette inégalité est la troisième et dernière propriété à vérifier (après la séparation et l’homogénéité) pour prouver que $\| \cdot \|_p$ est une norme. Elle confère donc aux espaces $L^p$ leur structure d’espace de Banach, qui est un cadre central de l’analyse fonctionnelle moderne.
- Théorie des Probabilités : En probabilités, elle s’applique aux moments d’ordre $p$ des variables aléatoires, montrant que l’espérance de $|X+Y|^p$ est contrôlée par les espérances de $|X|^p$ et $|Y|^p$.
- Généralité : Elle unifie le traitement des vecteurs de dimension finie, des suites infinies (espaces $\ell^p$) et des fonctions, montrant qu’ils partagent une structure géométrique commune.