Intégrale de fonctions rationnelles : méthodes et applications

Intégration des Fonctions Rationnelles et Applications

Intégrale des Fonctions Rationnelles

Pour intégrer une fonction rationnelle $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, la stratégie consiste à la décomposer en une somme d’éléments simples. L’intégration se ramène alors au calcul de primitives pour chaque élément de la décomposition.

Calcul de $\int \frac{dx}{(x-a)^n}$

Pour les éléments de première espèce (pôles réels) : $$ \int \frac{dx}{(x-a)^n} = \begin{cases} \ln|x-a| + \text{cte} & \text{si } n=1 \\ \frac{-1}{(n-1)(x-a)^{n-1}} + \text{cte} & \text{si } n \neq 1 \end{cases} $$

Calcul de $\int \frac{\alpha x + \beta}{(x^2+bx+c)^n}dx$ (avec $b^2-4c < 0$)

Pour les éléments de seconde espèce (pôles complexes), on procède par étapes :

  1. On met le trinôme sous forme canonique : $x^2+bx+c = (x-p)^2+q^2$.
  2. On effectue le changement de variable $x = p+qt$. L’intégrale se ramène à une combinaison de deux types d’intégrales : $$ I_n = \int \frac{t}{(t^2+1)^n}dt \quad \text{et} \quad J_n = \int \frac{1}{(t^2+1)^n}dt $$
  3. On calcule $I_n$ directement : $I_n = \begin{cases} \frac{1}{2}\ln(t^2+1) & \text{si } n=1 \\ \frac{-1}{2(n-1)(t^2+1)^{n-1}} & \text{si } n \neq 1 \end{cases}$.
  4. On calcule $J_1 = \arctan(t)$. Pour $n \ge 2$, on utilise une intégration par parties pour trouver une relation de récurrence entre $J_n$ et $J_{n-1}$.

Applications : Ramener à une Intégrale Rationnelle

De nombreuses intégrales peuvent être transformées en intégrales de fonctions rationnelles par un changement de variable approprié.

Intégrales de la forme $\int R(e^x)dx$

On pose $t=e^x$, d’où $x=\ln t$ et $dx = \frac{1}{t}dt$. L’intégrale devient $\int \frac{R(t)}{t}dt$.

Intégrales Trigonométriques

  • Pour $\int R(\cos x)\sin x dx$, on pose $t=\cos x$.
  • Pour $\int R(\sin x)\cos x dx$, on pose $t=\sin x$.
  • Pour $\int R(\tan x)dx$, on pose $t=\tan x$.
  • Pour le cas général $\int R(\sin x, \cos x)dx$, on utilise les règles de Bioche. On pose $w(x)=R(\sin x, \cos x)dx$.
    • Si $w(-x)=w(x)$, on pose $t=\cos x$.
    • Si $w(\pi-x)=w(x)$, on pose $t=\sin x$.
    • Si $w(\pi+x)=w(x)$, on pose $t=\tan x$.
    • Si aucune de ces règles ne s’applique, le changement de variable universel $t=\tan(x/2)$ fonctionne toujours.

Intégrales de la forme $\int R(\sinh x, \cosh x)dx$

On peut utiliser les règles de Bioche adaptées ou, plus simplement, poser $t=e^x$.

Intégrales Abéliennes

  • Type 1 : Pour $\int R\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)dx$, on pose $t = \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$.
  • Type 2 : Pour $\int R(x, \sqrt{ax^2+bx+c})dx$, après mise sous forme canonique du trinôme, on se ramène à l’une des trois formes $\sqrt{t^2+A^2}$, $\sqrt{t^2-A^2}$ ou $\sqrt{A^2-t^2}$, que l’on traite par des substitutions trigonométriques ou hyperboliques ($t=A\sinh u$, $t=A\cosh u$ ou $t=A\sin u$).