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Intégrale de Riemann : fonctions en escalier et espace vectoriel

    Définition : Subdivision d’un Intervalle

    On appelle subdivision d’un intervalle $[a, b]$, toute suite finie et strictement croissante de points $\sigma = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}$ telle que : $$ a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b $$ Le pas de la subdivision est le nombre $\delta = \max_{1 \le i \le n} (x_i – x_{i-1})$. Une subdivision est dite uniforme si le pas est constant.

    Définition : Fonction en Escalier

    Une fonction $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ est dite en escalier s’il existe une subdivision $\sigma = \{x_0, \dots, x_n\}$ de $[a,b]$ et des réels $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ tels que : $$ \forall i \in \{1, \dots, n\}, \forall x \in ]x_{i-1}, x_i[, \quad f(x) = \lambda_i $$ On dit alors que $\sigma$ est une subdivision adaptée à $f$.

    Remarque

    1. Les valeurs de la fonction aux points $x_i$ de la subdivision n’ont pas d’importance dans la définition.
    2. Si une subdivision $\sigma$ est adaptée à $f$, toute subdivision plus fine l’est également.

    Exemple

    La fonction partie entière $x \mapsto E(x)$ est une fonction en escalier sur tout intervalle fermé borné de $\mathbb{R}$.

    Proposition : Espace Vectoriel des Fonctions en Escalier

    L’ensemble des fonctions en escalier sur $[a,b]$, noté $\mathcal{E}([a,b], \mathbb{R})$, est un sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$. Autrement dit :

    • Si $f, g \in \mathcal{E}([a,b], \mathbb{R})$, alors $f+g \in \mathcal{E}([a,b], \mathbb{R})$.
    • Si $f \in \mathcal{E}([a,b], \mathbb{R})$ et $\alpha \in \mathbb{R}$, alors $\alpha f \in \mathcal{E}([a,b], \mathbb{R})$.
    • Si $f \in \mathcal{E}([a,b], \mathbb{R})$, alors $|f| \in \mathcal{E}([a,b], \mathbb{R})$.

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