Intégrales Doubles en Coordonnées Polaires : Méthode et Exemples

Passage en Coordonnées Polaires

Le passage en coordonnées polaires est la technique de changement de variables la plus importante pour les intégrales doubles. Elle est particulièrement efficace lorsque le domaine d’intégration ou la fonction à intégrer présente une symétrie circulaire. Elle permet de transformer des domaines comme des disques, des anneaux ou des secteurs angulaires (difficiles à décrire en coordonnées cartésiennes) en de simples rectangles dans le plan des coordonnées polaires.

1. Les Formules de Transformation

Le passage des coordonnées polaires $(r, \theta)$ aux coordonnées cartésiennes $(x,y)$ est donné par : $$ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta $$ La transformation inverse est : $$ r = \sqrt{x^2+y^2}, \quad \theta = \arctan(y/x) \text{ (avec précaution)} $$ L’expression $x^2+y^2=r^2$ est particulièrement utile.

2. Le Jacobien et l’Élément d’Aire

Pour appliquer la formule du changement de variables, nous avons besoin du déterminant jacobien de la transformation $T(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$.

Calcul du Jacobien

La matrice jacobienne est : $$ J_T(r,\theta) = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} $$ Le déterminant jacobien est : $$ \det(J_T) = (\cos\theta)(r\cos\theta) – (-r\sin\theta)(\sin\theta) = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r $$ L’élément d’aire se transforme donc en : $$ dx\,dy = |\det(J_T)| \,dr\,d\theta = r \,dr\,d\theta $$ (La valeur absolue est superflue car on considère $r \ge 0$).

[Image d’un élément d’aire en coordonnées polaires]

3. La Formule de Changement de Variables en Polaires

Formule de Passage en Polaires

$$ \iint_D f(x,y) \,dx\,dy = \iint_{D^*} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \,r \,dr\,d\theta $$ où $D^*$ est la description du domaine $D$ en coordonnées polaires.

Exemple : Volume d’un Paraboloïde

Calculer le volume du solide borné par le paraboloïde $z=9-x^2-y^2$ et le plan $z=0$.

  1. Fonction et domaine cartésiens :
    • Volume $V = \iint_D (9-x^2-y^2) \,dA$.
    • Le domaine $D$ est la projection sur le plan $z=0$, soit $9-x^2-y^2 \ge 0 \implies x^2+y^2 \le 9$. C’est un disque de rayon 3.
  2. Transformation en polaires :
    • Fonction : $9-(x^2+y^2) = 9-r^2$.
    • Domaine $D^*$ : Le disque de rayon 3 devient le rectangle $0 \le r \le 3$ et $0 \le \theta \le 2\pi$.
    • Élément d’aire : $dA = r\,dr\,d\theta$.
  3. Calcul de l’intégrale : $$ V = \int_0^{2\pi} \int_0^3 (9-r^2) r \,dr \,d\theta = \int_0^{2\pi} \left( \int_0^3 (9r-r^3) \,dr \right) \,d\theta $$ $$ = \int_0^{2\pi} \left[ \frac{9r^2}{2} – \frac{r^4}{4} \right]_0^3 \,d\theta = \int_0^{2\pi} \left( \frac{9(9)}{2} – \frac{81}{4} \right) \,d\theta $$ $$ = \int_0^{2\pi} \left( \frac{81}{2} – \frac{81}{4} \right) \,d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{81}{4} \,d\theta = \frac{81}{4} [\theta]_0^{2\pi} = \frac{81\pi}{2} $$