Passage en Coordonnées Cylindriques
Les coordonnées cylindriques sont l’extension naturelle des coordonnées polaires à l’espace tridimensionnel. On garde les coordonnées polaires $(r, \theta)$ pour décrire la projection d’un point sur le plan $(x,y)$ et on ajoute simplement la coordonnée cartésienne $z$ pour la hauteur. Ce système est idéal pour les problèmes d’intégration sur des domaines présentant une symétrie de révolution autour de l’axe $z$, comme les cylindres, les cônes ou les paraboloïdes.
[Image de la définition des coordonnées cylindriques]1. Les Formules de Transformation
Le passage des coordonnées cylindriques $(r, \theta, z)$ aux coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ est donné par : $$ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z $$
2. Le Jacobien et l’Élément de Volume
Pour la formule de changement de variables, nous avons besoin du déterminant jacobien de la transformation $T(r,\theta,z) = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$.
La matrice jacobienne est une matrice $3 \times 3$ : $$ J_T(r,\theta,z) = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial z} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial z} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Le déterminant jacobien se calcule facilement en développant par rapport à la dernière ligne : $$ \det(J_T) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} = r $$ L’élément de volume se transforme donc en : $$ dx\,dy\,dz = |\det(J_T)| \,dr\,d\theta\,dz = r \,dr\,d\theta\,dz $$
3. La Formule de Changement de Variables en Cylindriques
$$ \iiint_E f(x,y,z) \,dx\,dy\,dz = \iiint_{E^*} f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \,r \,dr\,d\theta\,dz $$ où $E^*$ est la description du domaine $E$ en coordonnées cylindriques.
Exemple : Volume entre un Cône et un Paraboloïde
Calculer le volume du solide $E$ borné en bas par le cône $z=\sqrt{x^2+y^2}$ et en haut par le paraboloïde $z=2-x^2-y^2$.
- Mise en équation : Les deux surfaces ont une symétrie de révolution autour de l’axe $z$. C’est un cas idéal pour les coordonnées cylindriques.
- Cône : $z = \sqrt{r^2} = r$.
- Paraboloïde : $z = 2 – (x^2+y^2) = 2 – r^2$.
- Intersection des surfaces : On cherche la projection du solide sur le plan $(x,y)$. L’intersection se produit quand $r = 2-r^2 \implies r^2+r-2=0 \implies (r+2)(r-1)=0$. Comme $r \ge 0$, la solution est $r=1$. Le domaine de projection $D$ est le disque de rayon 1.
- Description du domaine en cylindriques :
- Projection $D \implies 0 \le r \le 1$ et $0 \le \theta \le 2\pi$.
- Hauteur $z$ : comprise entre le cône et le paraboloïde, donc $r \le z \le 2-r^2$.
- Calcul de l’intégrale de volume : $$ V = \iiint_E 1 \,dV = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_r^{2-r^2} r \,dz \,dr \,d\theta $$ $$ = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r [z]_r^{2-r^2} \,dr \,d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r((2-r^2)-r) \,dr \,d\theta $$ $$ = \int_0^{2\pi} \left( \int_0^1 (2r – r^3 – r^2) \,dr \right) \,d\theta $$ L’intégrale intérieure (par rapport à $r$) est : $$ \left[ r^2 – \frac{r^4}{4} – \frac{r^3}{3} \right]_0^1 = 1 – \frac{1}{4} – \frac{1}{3} = \frac{12-3-4}{12} = \frac{5}{12} $$ L’intégrale extérieure est alors : $$ V = \int_0^{2\pi} \frac{5}{12} \,d\theta = \frac{5}{12} [\theta]_0^{2\pi} = \frac{5}{12}(2\pi) = \frac{5\pi}{6} $$