Passage en Coordonnées Sphériques
Les coordonnées sphériques sont un système de coordonnées tridimensionnel particulièrement adapté à l’intégration sur des domaines présentant une symétrie sphérique, comme des boules, des sphères, ou des portions de celles-ci. Elles permettent de transformer des intégrales triples complexes en coordonnées cartésiennes en intégrales sur des « boîtes » rectangulaires, simplifiant ainsi drastiquement les calculs.
[Image de la définition des coordonnées sphériques]1. Les Formules de Transformation
Un point $P(x,y,z)$ est repéré par trois coordonnées :
- $\rho$ (rho) : la distance du point à l’origine ($ \rho \ge 0 $). C’est le rayon.
- $\theta$ (theta) : l’angle azimutal, le même que pour les coordonnées cylindriques, mesuré dans le plan $(x,y)$ à partir de l’axe des $x$ ($ 0 \le \theta \le 2\pi $).
- $\phi$ (phi) : l’angle polaire ou colatitude, mesuré à partir de l’axe $z$ positif ($ 0 \le \phi \le \pi $).
Les formules de passage vers les coordonnées cartésiennes sont : $$ x = \rho\sin\phi\cos\theta, \quad y = \rho\sin\phi\sin\theta, \quad z = \rho\cos\phi $$ L’expression $x^2+y^2+z^2 = \rho^2$ est fondamentale.
2. Le Jacobien et l’Élément de Volume
Le calcul du Jacobien pour la transformation $T(\rho,\phi,\theta) = (x,y,z)$ est plus complexe mais essentiel.
La matrice jacobienne est : $$ J_T = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial \rho} & \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial \rho} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \\ \frac{\partial z}{\partial \rho} & \frac{\partial z}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial \theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin\phi\cos\theta & \rho\cos\phi\cos\theta & -\rho\sin\phi\sin\theta \\ \sin\phi\sin\theta & \rho\cos\phi\sin\theta & \rho\sin\phi\cos\theta \\ \cos\phi & -\rho\sin\phi & 0 \end{pmatrix} $$ Le calcul (long mais direct) du déterminant de cette matrice donne : $$ \det(J_T) = \rho^2\sin\phi $$ L’élément de volume se transforme donc en : $$ dx\,dy\,dz = |\det(J_T)| \,d\rho\,d\phi\,d\theta = \rho^2\sin\phi \,d\rho\,d\phi\,d\theta $$ (La valeur absolue est superflue car $\rho \ge 0$ et $\sin\phi \ge 0$ pour $\phi \in [0,\pi]$).
3. La Formule de Changement de Variables en Sphériques
$$ \iiint_E f(x,y,z) \,dV = \iiint_{E^*} f(\rho\sin\phi\cos\theta, \rho\sin\phi\sin\theta, \rho\cos\phi) \,\rho^2\sin\phi \,d\rho\,d\phi\,d\theta $$ où $E^*$ est la description du domaine $E$ en coordonnées sphériques.
Exemple : Volume d’une Sphère
Calculer le volume d’une sphère de rayon $R$.
- Description du domaine : La sphère $x^2+y^2+z^2 \le R^2$ est décrite en coordonnées sphériques par des bornes constantes, ce qui forme un pavé rectangulaire dans l’espace des paramètres : $$ E^* = \{ (\rho,\phi,\theta) \mid 0 \le \rho \le R, \quad 0 \le \phi \le \pi, \quad 0 \le \theta \le 2\pi \} $$
- Calcul de l’intégrale de volume :
$$ V = \iiint_E 1 \,dV = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^R \rho^2\sin\phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta $$
L’intégrale est entièrement séparable :
$$ V = \left( \int_0^R \rho^2 \,d\rho \right) \left( \int_0^\pi \sin\phi \,d\phi \right) \left( \int_0^{2\pi} 1 \,d\theta \right) $$
On calcule chaque intégrale simple :
- $\int_0^R \rho^2 \,d\rho = \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_0^R = \frac{R^3}{3}$
- $\int_0^\pi \sin\phi \,d\phi = [-\cos\phi]_0^\pi = (-\cos\pi) – (-\cos0) = 1 – (-1) = 2$
- $\int_0^{2\pi} 1 \,d\theta = [\theta]_0^{2\pi} = 2\pi$