Si une fonction $f$ est dérivable sur un voisinage de zéro et si sa dérivée $f’$ admet un développement limité (D.L.) d’ordre $n$ au voisinage de zéro, de partie principale $P(x)$, alors la fonction $f$ admet un D.L. d’ordre $n+1$ au voisinage de zéro.
La partie principale de ce D.L. est obtenue en intégrant celle de $f’$ : $$ f(x) = f(0) + \int_0^x P(t)dt + x^{n+1}\epsilon(x) $$
Exemple
Calculons le D.L. de $\arctan(x)$ à l’ordre $2n+1$. On part du D.L. de sa dérivée : $$ (\arctan x)’ = \frac{1}{1+x^2} = 1 – x^2 + x^4 – \dots + (-1)^n x^{2n} + x^{2n}\epsilon_1(x) $$ En intégrant terme à terme entre 0 et $x$ (et sachant que $\arctan(0)=0$), on obtient : $$ \arctan x = x – \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} – \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + x^{2n+1}\epsilon_2(x) $$
Si une fonction $f$ est dérivable en 0 et si sa dérivée $f’$ admet un D.L. d’ordre $n-1$ au voisinage de 0, alors la partie principale du D.L. de $f’$ est la dérivée de la partie principale du D.L. de $f$.
Si $f(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n + x^n\epsilon(x)$, alors : $$ f'(x) = a_1 + 2a_2x + \dots + na_nx^{n-1} + x^{n-1}\epsilon_1(x) $$
Remarques
- Il faut toujours développer toutes les fonctions au même ordre lors des calculs.
- Il est inutile de conserver les monômes de degré supérieur à l’ordre souhaité lors des opérations de produit ou de composition.
- La notion de D.L. au voisinage d’un point $x_0 \neq 0$ se ramène au cas de 0 par le changement de variable $u = x – x_0$.
On dit qu’une fonction $f$ admet un D.L. d’ordre $n$ au voisinage de l’infini si la fonction $g(u) = f(1/u)$ admet un D.L. d’ordre $n$ au voisinage de 0.
La forme du D.L. est alors une approximation par un polynôme en $1/x$ : $$ f(x) = a_0 + \frac{a_1}{x} + \frac{a_2}{x^2} + \dots + \frac{a_n}{x^n} + \frac{1}{x^n}\epsilon\left(\frac{1}{x}\right) $$
Exemple
Calculons le D.L. d’ordre 3 au voisinage de $\infty$ de $f(x) = \frac{x}{x-1}$.
On pose $u=1/x$. La fonction devient $g(u) = f(1/u) = \frac{1/u}{1/u – 1} = \frac{1}{1-u}$. Le D.L. de $g(u)$ en 0 à l’ordre 3 est $g(u) = 1 + u + u^2 + u^3 + u^3\epsilon(u)$.
En revenant à la variable $x$, on obtient le D.L. de $f(x)$ au voisinage de $\infty$ : $$ f(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^3}\epsilon\left(\frac{1}{x}\right) $$