Intégration sur des Domaines Généraux
La plupart des problèmes d’intégration ne se posent pas sur des rectangles, mais sur des formes plus complexes comme des disques, des triangles ou des domaines délimités par des courbes. Le théorème de Fubini se généralise à ces cas en introduisant des bornes d’intégration qui sont des fonctions, et non plus des constantes. La clé est de décrire le domaine comme étant de « Type 1 » ou de « Type 2 ».
1. Domaines de Type 1 (Intégration Verticale)
Un domaine est de type 1 s’il est « pris en sandwich » entre les graphes de deux fonctions de $x$.
Un domaine $D$ est dit de Type 1 s’il peut être décrit par des inégalités de la forme : $$ D = \{ (x,y) \mid a \le x \le b \text{ et } \phi_1(x) \le y \le \phi_2(x) \} $$ où $\phi_1$ et $\phi_2$ sont des fonctions continues.
L’intégrale double se calcule en intégrant d’abord par rapport à $y$ (verticalement), de la courbe du bas $\phi_1(x)$ à la courbe du haut $\phi_2(x)$, puis en intégrant le résultat par rapport à $x$ de $a$ à $b$. $$ \iint_D f(x,y) \,dA = \int_a^b \left[ \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x,y) \,dy \right] \,dx $$
2. Domaines de Type 2 (Intégration Horizontale)
Un domaine est de type 2 s’il est « pris en sandwich » entre les graphes de deux fonctions de $y$.
Un domaine $D$ est dit de Type 2 s’il peut être décrit par des inégalités de la forme : $$ D = \{ (x,y) \mid c \le y \le d \text{ et } \psi_1(y) \le x \le \psi_2(y) \} $$ où $\psi_1$ et $\psi_2$ sont des fonctions continues.
L’intégrale double se calcule en intégrant d’abord par rapport à $x$ (horizontalement), de la courbe de gauche $\psi_1(y)$ à la courbe de droite $\psi_2(y)$, puis en intégrant le résultat par rapport à $y$ de $c$ à $d$. $$ \iint_D f(x,y) \,dA = \int_c^d \left[ \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y) \,dx \right] \,dy $$
Exemple : Intégrale sur un Domaine Parabolique
Calculer $\iint_D (x+y) \,dA$ où $D$ est le domaine délimité par la parabole $y=x^2$ et la droite $y=x$.
- Dessiner le domaine : Les courbes se croisent en $x^2=x \implies x(x-1)=0$, soit aux points (0,0) et (1,1). Sur l’intervalle $[0,1]$, la droite $y=x$ est au-dessus de la parabole $y=x^2$.
- Décrire le domaine :
- Comme domaine de Type 1 : $0 \le x \le 1$ et $x^2 \le y \le x$.
- Comme domaine de Type 2 : $0 \le y \le 1$ et $y \le x \le \sqrt{y}$.
- Calculer l’intégrale (en Type 1) : $$ \int_0^1 \left[ \int_{x^2}^{x} (x+y) \,dy \right] \,dx = \int_0^1 \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{x^2}^{x} \,dx $$ $$ = \int_0^1 \left( (x^2+\frac{x^2}{2}) – (x(x^2)+\frac{(x^2)^2}{2}) \right) \,dx = \int_0^1 \left( \frac{3}{2}x^2 – x^3 – \frac{x^4}{2} \right) \,dx $$ $$ = \left[ \frac{1}{2}x^3 – \frac{1}{4}x^4 – \frac{1}{10}x^5 \right]_0^1 = \frac{1}{2} – \frac{1}{4} – \frac{1}{10} = \frac{10-5-2}{20} = \frac{3}{20} $$
Le choix de l’ordre d’intégration est souvent crucial. Un ordre peut mener à des calculs simples, tandis que l’autre peut aboutir à des intégrales très difficiles, voire impossibles à calculer analytiquement.