Intégration d’une Fonction sur une Surface
L’intégration sur une surface est la généralisation de l’intégrale curviligne à une dimension supérieure. Elle permet de « sommer » une grandeur (scalaire ou vectorielle) sur une nappe de surface courbe. Tout comme pour les courbes, on distingue deux types d’intégrales de surface, selon que l’on intègre un champ scalaire ou un champ de vecteurs. Le calcul repose toujours sur la paramétrisation de la surface.
1. Intégrale de Surface d’un Champ Scalaire
Cette intégrale permet de calculer des grandeurs comme la masse d’une coque mince de densité variable, ou l’aire de la surface elle-même. On « somme » la valeur de la fonction $f$ en chaque point de la surface, pondérée par un petit élément d’aire $dS$.
Soit $f(x,y,z)$ un champ scalaire continu et $S$ une surface lisse paramétrée par $\vec{r}(u,v)$ pour $(u,v) \in D$.
L’intégrale de surface de $f$ sur $S$ est :
$$ \iint_S f \,dS = \iint_D f(\vec{r}(u,v)) \|\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v\| \,du \,dv $$
où $dS = \|\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v\| \,du \,dv$ est l’élément d’aire.
Si $f=1$, on retrouve la formule de l’aire de la surface.
Exemple : Masse d’un Paraboloïde
Calculer la masse de la portion du paraboloïde $z=x^2+y^2$ située sous le plan $z=1$, si sa densité surfacique est $\sigma(x,y,z) = \sqrt{1+4x^2+4y^2}$.
- Paramétrisation : La surface est un graphe $z=f(x,y)$. On utilise $x,y$ comme paramètres : $\vec{r}(x,y) = (x, y, x^2+y^2)$. Le domaine $D$ est la projection sur le plan $xy$, soit le disque $x^2+y^2 \le 1$.
- Élément d’aire $dS$ : Pour un graphe, $dS = \sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2} \,dx\,dy$. $$ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 2y \implies dS = \sqrt{1+(2x)^2+(2y)^2} \,dx\,dy = \sqrt{1+4(x^2+y^2)} \,dx\,dy $$
- Intégrale : La masse est $M = \iint_S \sigma \,dS$. $$ M = \iint_D \sqrt{1+4x^2+4y^2} \cdot \sqrt{1+4(x^2+y^2)} \,dx\,dy = \iint_D (1+4(x^2+y^2)) \,dx\,dy $$
- Calcul en polaires : Le domaine et la fonction sont circulaires. On pose $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$. Le domaine devient $0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi$. $$ M = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (1+4r^2) r \,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi} \left[ \frac{r^2}{2} + r^4 \right]_0^1 \,d\theta = \int_0^{2\pi} (\frac{1}{2}+1) \,d\theta = \frac{3}{2} (2\pi) = 3\pi $$
2. Intégrale de Surface d’un Champ de Vecteurs (Flux)
Cette intégrale, appelée flux, mesure la « quantité » d’un champ de vecteurs $\vec{F}$ qui traverse une surface orientée $S$. Elle est fondamentale en mécanique des fluides et en électromagnétisme. On ne compte que la composante du champ qui est normale à la surface.
Soit $\vec{F}$ un champ de vecteurs continu et $S$ une surface lisse orientée. Le flux de $\vec{F}$ à travers $S$ est : $$ \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_D \vec{F}(\vec{r}(u,v)) \cdot (\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v) \,du \,dv $$ où $d\vec{S} = (\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v) \,du \,dv$ est le vecteur surface élémentaire. L’orientation de $d\vec{S}$ doit correspondre à l’orientation choisie pour la surface.
Exemple : Flux à travers un Cylindre
Calculer le flux du champ $\vec{F}(x,y,z) = (x,y,z)$ à travers la portion du cylindre $x^2+y^2=1$ comprise entre $z=0$ et $z=1$, orientée vers l’extérieur.
- Paramétrisation : $\vec{r}(\theta,z) = (\cos\theta, \sin\theta, z)$ pour $\theta \in [0,2\pi]$ et $z \in [0,1]$.
- Vecteur normal : $$ \vec{r}_\theta = (-\sin\theta, \cos\theta, 0), \quad \vec{r}_z = (0,0,1) $$ $$ \vec{N} = \vec{r}_\theta \wedge \vec{r}_z = (\cos\theta, \sin\theta, 0) $$ Ce vecteur est radial et pointe vers l’extérieur du cylindre, c’est la bonne orientation.
- Champ sur la surface : $\vec{F}(\vec{r}(\theta,z)) = (\cos\theta, \sin\theta, z)$.
- Produit scalaire : $$ \vec{F} \cdot \vec{N} = (\cos\theta, \sin\theta, z) \cdot (\cos\theta, \sin\theta, 0) = \cos^2\theta + \sin^2\theta + 0 = 1 $$
- Intégrale : $$ \text{Flux} = \int_0^1 \int_0^{2\pi} 1 \,d\theta \,dz = \left( \int_0^{2\pi} d\theta \right) \left( \int_0^1 dz \right) = (2\pi)(1) = 2\pi $$