Intérieur, Adhérence et Frontière
Pour tout sous-ensemble $A$ de $\mathbb{R}^n$, on peut distinguer trois types de points : ceux qui sont « bien à l’intérieur » de $A$, ceux qui sont « sur le bord », et ceux qui, sans être forcément dedans, sont « infiniment proches » de $A$. Ces notions sont formalisées par les concepts d’intérieur, de frontière et d’adhérence.
1. Intérieur d’un Ensemble
L’intérieur d’un ensemble $A$ est la collection de tous les points de $A$ qui sont « protégés » de l’extérieur par un voisinage.
Soit $A$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}^n$.
- Un point $x \in A$ est un point intérieur à $A$ s’il existe un rayon $r>0$ tel que la boule ouverte $B(x,r)$ soit entièrement contenue dans $A$.
- L’intérieur de $A$, noté $\text{Int}(A)$ ou $\mathring{A}$, est l’ensemble de tous les points intérieurs à $A$.
- $\mathring{A}$ est toujours un ensemble ouvert.
- $\mathring{A}$ est le plus grand ouvert inclus dans $A$. (C’est-à-dire que si $U$ est un ouvert et $U \subset A$, alors $U \subset \mathring{A}$).
- Un ensemble $A$ est ouvert si et seulement si $A = \mathring{A}$.
Exemples
- Si $A = [0, 1]$ dans $\mathbb{R}$, alors $\mathring{A} = ]0, 1[$.
- Si $B = B_f(a, r)$ (boule fermée), alors $\mathring{B} = B(a, r)$ (boule ouverte).
- Si $D$ est une droite dans $\mathbb{R}^2$, alors $\mathring{D} = \emptyset$.
- L’intérieur de l’ensemble des rationnels $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ est vide : $\mathring{\mathbb{Q}} = \emptyset$.
2. Adhérence (ou Fermeture) d’un Ensemble
L’adhérence d’un ensemble $A$ est l’ensemble $A$ lui-même auquel on ajoute tous les points qui sont « infiniment proches » de $A$.
Soit $A$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}^n$.
- Un point $x \in \mathbb{R}^n$ est un point adhérent à $A$ si toute boule ouverte centrée en $x$ rencontre $A$. $$ \forall r > 0, \quad B(x,r) \cap A \neq \emptyset $$
- L’adhérence de $A$, notée $\text{Adh}(A)$ ou $\bar{A}$, est l’ensemble de tous les points adhérents à $A$.
- $\bar{A}$ est toujours un ensemble fermé.
- $\bar{A}$ est le plus petit fermé contenant $A$.
- Un ensemble $A$ est fermé si et seulement si $A = \bar{A}$.
- Caractérisation séquentielle : $x \in \bar{A}$ si et seulement s’il existe une suite $(x_k)$ d’éléments de $A$ qui converge vers $x$.
Exemples
- Si $A = ]0, 1[$ dans $\mathbb{R}$, alors $\bar{A} = [0, 1]$.
- Si $B = B(a, r)$ (boule ouverte), alors $\bar{B} = B_f(a, r)$ (boule fermée).
- L’adhérence de l’ensemble des rationnels $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ est $\mathbb{R}$ tout entier : $\bar{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}$. On dit que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$.
3. Frontière d’un Ensemble
La frontière est l’interface entre l’intérieur d’un ensemble et son extérieur. Un point est sur la frontière s’il est à la fois « proche » de l’ensemble et « proche » de son complémentaire.
[Image d’un ensemble avec son intérieur, sa frontière et son adhérence]Soit $A$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}^n$. La frontière de $A$, notée $\text{Fr}(A)$ ou $\partial A$, est l’ensemble des points $x \in \mathbb{R}^n$ tels que toute boule ouverte centrée en $x$ rencontre à la fois $A$ et son complémentaire $\mathbb{R}^n \setminus A$. $$ \forall r > 0, \quad B(x,r) \cap A \neq \emptyset \quad \text{et} \quad B(x,r) \cap (\mathbb{R}^n \setminus A) \neq \emptyset $$
- $\partial A$ est toujours un ensemble fermé.
- La frontière de $A$ est égale à la frontière de son complémentaire : $\partial A = \partial (\mathbb{R}^n \setminus A)$.
- On a les relations fondamentales : $$ \bar{A} = \mathring{A} \cup \partial A \quad \text{(union disjointe)} $$ $$ \partial A = \bar{A} \setminus \mathring{A} $$ $$ \partial A = \bar{A} \cap \overline{(\mathbb{R}^n \setminus A)} $$
Exemples
- Si $A = ]0, 1[$ ou $A = [0, 1]$ dans $\mathbb{R}$, alors $\partial A = \{0, 1\}$.
- Si $B = B(a, r)$ ou $B=B_f(a,r)$, sa frontière est la sphère $S(a,r) = \{x \in \mathbb{R}^n \mid \|x-a\|=r \}$.
- La frontière de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ est $\mathbb{R}$ tout entier.