Interprétation Géométrique de la Méthode de Lagrange

La méthode des multiplicateurs de Lagrange peut sembler être une « astuce » algébrique, mais elle repose en réalité sur une intuition géométrique profonde : en un point d’extremum contraint, les courbes de niveau de la fonction et de la contrainte doivent être tangentes.

1. Le Cadre Géométrique

Considérons un problème d’optimisation en deux dimensions :

• On veut trouver les extrémums d’une fonction $f(x,y)$. On peut visualiser cette fonction par ses courbes de niveau, c’est-à-dire les courbes d’équation $f(x,y)=c$ pour différentes constantes $c$. [Image d’une carte topographique avec des courbes de niveau]
• On est soumis à une contrainte $g(x,y)=k$. Cette contrainte nous oblige à ne considérer que les points situés sur une courbe spécifique, qui est elle-même une courbe de niveau de la fonction $g$.

Le problème revient donc à trouver le point de la courbe de contrainte qui se situe sur la courbe de niveau de $f$ la plus « haute » (pour un maximum) ou la plus « basse » (pour un minimum).

2. La Condition de Tangence

Soit $a$ un point sur la courbe de contrainte qui est un extremum (par exemple, un maximum) de $f$.
La courbe de niveau de $f$ passant par $a$ est $f(x,y)=f(a)$.

Raisonnement par l’absurde : Supposons que la courbe de niveau de $f$ et la courbe de contrainte ne soient pas tangentes en $a$. Cela signifie qu’elles se croisent. Si elles se croisent, on peut se déplacer le long de la courbe de contrainte (pour respecter la contrainte) en quittant le point $a$. En faisant cela, on va nécessairement traverser des courbes de niveau de $f$ correspondant à des valeurs plus grandes que $f(a)$.

[Image des courbes de niveau se croisant]

Ceci contredit l’hypothèse que $a$ est un maximum local de $f$ sur la contrainte. Par conséquent, les deux courbes ne peuvent pas se croiser : elles doivent être tangentes.

3. Des Courbes Tangentes aux Gradients Colinéaires

Nous savons que le gradient d’une fonction en un point est toujours orthogonal à la courbe de niveau qui passe par ce point.

• Le vecteur $\nabla f(a)$ est normal à la courbe $f(x,y)=f(a)$ au point $a$.
• Le vecteur $\nabla g(a)$ est normal à la courbe $g(x,y)=k$ au point $a$.

Si les deux courbes sont tangentes en $a$, elles partagent la même droite tangente en ce point. Par conséquent, leurs droites normales doivent aussi être les mêmes. Cela signifie que les vecteurs normaux, $\nabla f(a)$ et $\nabla g(a)$, doivent être parallèles (ou colinéaires).

[Image de courbes de niveau tangentes avec leurs gradients colinéaires]

C’est précisément la condition que l’on trouve en annulant les dérivées partielles du Lagrangien par rapport aux variables d’origine. La méthode des multiplicateurs de Lagrange est donc la traduction analytique de cette condition géométrique de tangence.