Interprétation Géométrique du Gradient
Le vecteur gradient $\nabla f(a)$ n’est pas seulement un simple conteneur pour les dérivées partielles ; c’est un objet géométrique riche de sens. Il révèle les propriétés locales les plus importantes d’un champ scalaire $f$ en un point $a$. Ses deux caractéristiques majeures sont son lien avec la direction de plus grande pente et son orthogonalité avec les lignes de niveau.
1. Le Gradient comme Direction de Plus Grande Pente
L’interprétation la plus célèbre du gradient est qu’il indique la direction dans laquelle la fonction $f$ augmente le plus rapidement. Cette propriété découle directement de la formule de la dérivée directionnelle.
Pour une fonction $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$ différentiable en $a$, la dérivée directionnelle dans la direction d’un vecteur unitaire $u$ est donnée par le produit scalaire : $$ D_u f(a) = \nabla f(a) \cdot u = \|\nabla f(a)\| \|u\| \cos(\theta) = \|\nabla f(a)\| \cos(\theta) $$ où $\theta$ est l’angle entre le gradient $\nabla f(a)$ et la direction $u$.
Le taux de variation $D_u f(a)$ dépend de l’angle $\theta$. Il est :
- Maximal lorsque $\cos(\theta)=1$, c’est-à-dire $\theta=0$. Cela se produit lorsque le vecteur de direction $u$ a la même direction et le même sens que le gradient $\nabla f(a)$.
- Minimal (la plus forte décroissance) lorsque $\cos(\theta)=-1$, c’est-à-dire $\theta=\pi$. Cela se produit lorsque $u$ pointe dans la direction opposée au gradient.
La direction du vecteur gradient $\nabla f(a)$ est celle de la plus forte croissance de la fonction $f$ au point $a$.
La norme du vecteur gradient $\|\nabla f(a)\|$ est la valeur de ce taux de croissance maximal.
Imaginons que $f(x,y)$ représente l’altitude d’un terrain. Si vous êtes au point $(x,y)$, le vecteur $\nabla f(x,y)$ pointe dans la direction qu’il faut prendre pour grimper la pente la plus raide. Le vecteur $-\nabla f(x,y)$ indique la direction de la ligne de plus grande pente descendante.
2. Le Gradient est Orthogonal aux Lignes de Niveau
Une ligne de niveau (ou surface de niveau en 3D) est l’ensemble des points où la fonction prend une valeur constante, $f(x) = c$.
Que vaut la dérivée directionnelle lorsque l’on se déplace le long d’une ligne de niveau ? Par définition, la fonction est constante, donc son taux de variation est nul. $$ D_u f(a) = 0 $$ En utilisant la formule du produit scalaire : $$ \nabla f(a) \cdot u = 0 $$ Cela signifie que le gradient $\nabla f(a)$ est orthogonal à tout vecteur $u$ qui est tangent à la ligne de niveau au point $a$.
En tout point $a$, le vecteur gradient $\nabla f(a)$ est perpendiculaire à la ligne (ou surface) de niveau de $f$ qui passe par ce point.
Cette propriété est très intuitive : pour rester à la même altitude sur une montagne (suivre une ligne de niveau), il faut marcher perpendiculairement à la direction de la plus grande pente.
Application : Équation du Plan Tangent à une Surface de Niveau
Considérons une surface définie implicitement par l’équation $F(x,y,z)=c$. C’est une surface de niveau de la fonction $F$.
D’après la propriété ci-dessus, en tout point $a=(x_0,y_0,z_0)$ de cette surface, le vecteur gradient $\nabla F(a)$ est normal (perpendiculaire) à la surface.
Or, un plan est entièrement défini par un point et un vecteur normal. On obtient donc directement l’équation du plan tangent.
Le plan tangent à la surface $F(x,y,z)=c$ au point $a$ est le plan passant par $a$ et de vecteur normal $\nabla F(a)$. Son équation est : $$ \nabla F(a) \cdot (x-a) = 0 $$ $$ \frac{\partial F}{\partial x}(a)(x-x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(a)(y-y_0) + \frac{\partial F}{\partial z}(a)(z-z_0) = 0 $$