Interprétation Physique de la Divergence
La divergence est un opérateur qui, à un champ de vecteurs, associe un champ scalaire. Sa valeur en un point donné, $\text{div } \vec{F}(P)$, n’est pas qu’un simple nombre ; elle a une signification physique profonde qui décrit le comportement du champ au voisinage de ce point. L’analogie la plus parlante est celle de l’écoulement d’un fluide.
1. L’Analogie de l’Écoulement Fluide
Imaginons que le champ de vecteurs $\vec{F}$ représente le champ de vitesse d’un fluide (l’eau dans une rivière, l’air dans une pièce, etc.). En chaque point, le vecteur $\vec{F}$ indique la direction et la vitesse de l’écoulement.
La divergence en un point $P$ mesure le taux de variation du volume du fluide en ce point. Elle quantifie si le fluide a tendance à se dilater (diverger) ou à se contracter (converger) en $P$.
- $\text{div } \vec{F}(P) > 0$ : Le point P est une Source
Le flux net de fluide sortant d’un petit volume imaginaire autour de P est positif. Plus de fluide sort qu’il n’en entre. Le fluide semble « jaillir » de P. C’est le cas près d’un robinet, d’une source, ou dans un gaz en expansion. [Image d’un champ de vecteurs avec une source] - $\text{div } \vec{F}(P) < 0$ : Le point P est un Puits
Le flux net est entrant. Plus de fluide entre dans le petit volume qu’il n’en sort. Le fluide semble être « aspiré » ou « disparaître » en P. C’est le cas près d’un siphon, d’un drain, ou dans un gaz en compression. [Image d’un champ de vecteurs avec un puits] - $\text{div } \vec{F}(P) = 0$ : Le champ est Solénoïdal
Le flux entrant est exactement égal au flux sortant. Le volume de fluide est conservé localement. On dit que le champ est solénoïdal ou que l’écoulement est incompressible. C’est une très bonne approximation pour les liquides comme l’eau.
2. Lien avec le Théorème de Flux-Divergence
Le théorème de Gauss-Ostrogradsky, $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_E (\text{div } \vec{F}) \,dV$, est la manifestation macroscopique de cette interprétation locale.
- Le terme de droite, $\iiint_E (\text{div } \vec{F}) \,dV$, est la somme de toutes les « densités de source » à l’intérieur du volume $E$. C’est la « production totale » de fluide à l’intérieur.
- Le terme de gauche, $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$, est le flux total sortant à travers la frontière $S$ du volume. C’est le « débit total » qui s’échappe.
Le théorème exprime simplement que le débit total qui s’échappe d’une région fermée est égal à la somme de tout ce qui est produit à l’intérieur. C’est une loi de conservation fondamentale.
3. Applications en Électromagnétisme
L’interprétation de la divergence est au cœur des équations de Maxwell.
La Loi de Gauss pour l’Électricité
L’équation locale de Gauss s’écrit $\text{div } \vec{E} = \rho / \epsilon_0$.
- $\vec{E}$ est le champ électrique.
- $\rho$ est la densité de charge électrique.
Interprétation : Les charges électriques sont les sources du champ électrique.
- Les charges positives ($\rho > 0$) sont des points où $\text{div } \vec{E} > 0$. Les lignes de champ électrique « divergent » à partir des charges positives.
- Les charges négatives ($\rho < 0$) sont des points où $\text{div } \vec{E} < 0$. Les lignes de champ électrique "convergent" vers les charges négatives.
La Loi de Gauss pour le Magnétisme
L’équation correspondante pour le champ magnétique est $\text{div } \vec{B} = 0$.
Interprétation : Le champ magnétique est toujours solénoïdal. Il n’a ni sources ni puits. Cela signifie qu’il n’existe pas de « charges magnétiques » (ou monopôles magnétiques) qui seraient l’analogue des charges électriques. Les lignes de champ magnétique se referment toujours sur elles-mêmes ; elles ne commencent ni ne finissent jamais en un point.
[Image des lignes de champ magnétique d’un aimant]