Introduction aux Fonctions Vectorielles
Après avoir étudié la topologie de $\mathbb{R}^n$, nous allons maintenant nous intéresser aux fonctions qui prennent leurs valeurs dans ces espaces. Une fonction vectorielle est une fonction dont la variable peut être un vecteur et/ou dont le résultat est un vecteur. Ces fonctions sont omniprésentes en physique (champs de forces, mécanique du point), en économie (fonctions d’utilité), en informatique (graphisme 3D) et dans de nombreux autres domaines.
1. Définition et Composantes
Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}^p$. Une fonction vectorielle (ou fonction de plusieurs variables) est une application $f$ de $A$ dans $\mathbb{R}^n$. $$ f: A \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n $$ À un vecteur $x = (x_1, \dots, x_p) \in A$, la fonction $f$ associe un unique vecteur $y = f(x) = (y_1, \dots, y_n) \in \mathbb{R}^n$.
- $\mathbb{R}^p$ est l’espace de départ.
- $\mathbb{R}^n$ est l’espace d’arrivée.
- $A$ est le domaine de définition de $f$.
Le vecteur image $f(x)$ a $n$ coordonnées. Chacune de ces coordonnées dépend du vecteur d’entrée $x$. On peut donc définir $n$ fonctions scalaires (à valeurs dans $\mathbb{R}$) appelées fonctions composantes de $f$. $$ f(x) = (f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)) $$ où chaque $f_i : A \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$ est une fonction de $p$ variables à valeurs réelles.
L’étude d’une fonction vectorielle $f$ se ramène très souvent à l’étude séparée de ses $n$ fonctions composantes $f_i$.
Cas Particuliers
- Arcs paramétrés ($p=1$) : $f: I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$. Une seule variable réelle en entrée (le temps, par exemple) et un vecteur en sortie (la position). C’est la description d’une courbe.
Exemple : $f(t) = (\cos t, \sin t)$ pour $t \in [0, 2\pi]$ décrit un cercle dans $\mathbb{R}^2$. - Fonctions scalaires ($n=1$) : $f: A \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$. Plusieurs variables en entrée, un seul nombre réel en sortie (altitude, température, pression).
Exemple : $f(x, y) = x^2 + y^2$ est la hauteur d’un paraboloïde. [Image d’un paraboloïde] - Champs de vecteurs ($p=n$) : $f: A \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^p$. Associe à chaque point de l’espace un vecteur de même dimension (champ de vitesses d’un fluide, champ gravitationnel).
Exemple : $f(x, y) = (-y, x)$ représente un champ de vecteurs qui « tourne » autour de l’origine dans $\mathbb{R}^2$. [Image d’un champ de vecteurs tournant]
2. Limite et Continuité
Les notions de limite et de continuité se généralisent naturellement en utilisant la notion de norme pour mesurer la « proximité » des vecteurs.
Soit $f: A \to \mathbb{R}^n$ et $a$ un point adhérent à $A$. On dit que $f$ a pour limite le vecteur $L \in \mathbb{R}^n$ quand $x$ tend vers $a$ si : $$ \forall \varepsilon > 0, \quad \exists \delta > 0, \quad \forall x \in A, \quad (\|x-a\|_p < \delta \implies \|f(x)-L\|_n < \varepsilon) $$ On note alors $\lim_{x \to a} f(x) = L$.
La norme $\| \cdot \|_p$ est une norme sur $\mathbb{R}^p$ et $\| \cdot \|_n$ est une norme sur $\mathbb{R}^n$. Grâce à l’équivalence des normes en dimension finie, le choix de la norme n’a pas d’importance.
Comme suggéré plus haut, tout passe par les composantes.
Soit $f = (f_1, \dots, f_n)$ et $L = (L_1, \dots, L_n)$. Alors : $$ \lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall i \in \{1, \dots, n\}, \quad \lim_{x \to a} f_i(x) = L_i $$
Ce théorème est crucial : pour calculer la limite d’une fonction vectorielle, il suffit de calculer les limites de ses $n$ fonctions composantes, qui sont des fonctions scalaires plus simples à étudier.
Soit $f: A \to \mathbb{R}^n$ et $a \in A$.
- $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
- $f$ est continue sur $A$ si elle est continue en tout point de $A$.
Une fonction $f = (f_1, \dots, f_n)$ est continue en un point $a$ (ou sur un ensemble $A$) si et seulement si chacune de ses fonctions composantes $f_i$ est continue en $a$ (ou sur $A$).
Les opérations usuelles (somme, produit par un scalaire, produit scalaire) préservent la continuité. La composition de fonctions continues est également continue.