Isométries hyperboliques
Les isométries hyperboliques sont les transformations bijectives du plan hyperbolique qui préservent la distance hyperbolique. Nous définissons rigoureusement ces applications et établissons leur classification complète.
Définitions formelles
On considère le modèle de la demi-plane supérieure : $\mathbb{H} = \{ z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im}(z) > 0 \}$ muni de la métrique riemannienne $ds^2 = \frac{dx^2+dy^2}{y^2}$.
La distance hyperbolique entre $z_1 = x_1 + iy_1$ et $z_2 = x_2 + iy_2$ est donnée par :
$$
d_{\mathbb{H}}(z_1, z_2) = \operatorname{arcosh}\left(1 + \frac{|z_1 – z_2|^2}{2 y_1 y_2}\right).
$$
Définition. Une application $f : \mathbb{H} \to \mathbb{H}$ est une isométrie hyperbolique si pour tout $z,w \in \mathbb{H}$, on a $d_{\mathbb{H}}(f(z), f(w)) = d_{\mathbb{H}}(z, w)$.
Théorème de classification
Théorème. Toute isométrie hyperbolique (orientation-préservant) de $\mathbb{H}$ est une transformation de Möbius à coefficients réels :
$$
f(z) = \frac{az + b}{cz + d}, \quad a,b,c,d \in \mathbb{R},\ ad – bc = 1.
$$
Le groupe des isométries directes est isomorphe à $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$.
Preuve du théorème
Preuve : Soit $f$ une isométrie hyperbolique. Elle préserve les géodésiques, qui sont les demi-cercles orthogonaux à $\mathbb{R}$ et les verticales. Montrons que $f$ est conforme. La métrique hyperbolique est invariante par rotation locale, donc $f$ préserve les angles. Comme $f$ est une bijection continue préservant les cercles orthogonaux au bord, elle induit une transformation conforme du bord $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$ sur lui-même. Toute transformation conforme de la sphère de Riemann qui préserve $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$ est une transformation de Möbius à coefficients réels ou anti-réels. L’orientation-préservation impose des coefficients réels. La condition $ad-bc=1$ vient de la normalisation. $\blacksquare$
Exemples et contre-exemples
Exemples :
- Translation horizontale : $f(z) = z + a$, $a \in \mathbb{R}$.
- Homothétie : $f(z) = \lambda z$, $\lambda > 0$.
- Inversion : $f(z) = -\frac{1}{z}$.
Contre-exemple : L’affinité $f(z) = 2z + i$ n’est pas de Möbius à coefficients réels (car $i$ n’est pas réel) et ne préserve pas la distance hyperbolique.
Généralisations
Les isométries hyperboliques en dimension $n$ sont les transformations du demi-espace $\mathbb{H}^n$ données par $\mathrm{PSO}(n,1)$. Les propriétés de préservation des géodésiques et de la structure conforme restent valables.
Conclusion
Nous avons vu que les isométries hyperboliques sont exactement les transformations de Möbius à coefficients réels. Pour approfondir, consultez le cours complet de mathématiques supérieures sur KeepMath. Les ressources de la bibliothèque en ligne de l’ENS offrent également des articles spécialisés.