Isomorphismes, Endomorphismes et Automorphismes
Les morphismes sont des applications qui préservent la structure. Parmi eux, certains types particuliers jouent un rôle prépondérant en algèbre. Ils correspondent à des situations spécifiques : un morphisme d’un groupe dans lui-même, un morphisme qui est une « traduction parfaite » entre deux structures, etc.
Un endomorphisme d’un groupe $(G, \star)$ est un morphisme de $G$ dans lui-même. C’est une application $f: G \to G$ qui vérifie $f(x \star y) = f(x) \star f(y)$.
Un isomorphisme entre deux groupes $(G, \star)$ et $(H, \bullet)$ est un morphisme $f: G \to H$ qui est bijectif.
Lorsqu’il existe un isomorphisme entre $G$ et $H$, on dit que les deux groupes sont isomorphes, et on note $G \simeq H$. Cela signifie qu’ils ont exactement la même structure, même si leurs éléments sont de nature différente.
Un automorphisme d’un groupe $G$ est un isomorphisme de $G$ dans lui-même. C’est donc un morphisme bijectif de $G$ sur $G$.
Résumé de la Hiérarchie
- Endomorphisme = Morphisme de $G$ vers $G$.
- Isomorphisme = Morphisme + Bijectif.
- Automorphisme = Endomorphisme + Isomorphisme (donc morphisme bijectif de $G$ vers $G$).
Exemples
- Endomorphisme : L’application $f: (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}, +)$ définie par $f(x) = 2x$ est un endomorphisme. Elle n’est pas surjective, donc ce n’est pas un automorphisme.
- Isomorphisme : L’application $\exp: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}_+^*, \times)$ est un isomorphisme. Ces deux groupes sont structurellement identiques.
- Automorphisme : L’application $f: (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}, +)$ définie par $f(x) = -x$ est un automorphisme. Elle est bien un morphisme ($f(x+y) = -(x+y) = (-x)+(-y) = f(x)+f(y)$) et elle est bijective.