LE MANUEL MAGISTRAL – RÉFÉRENCE ABSOLUE
La Dérivation
Calcul Différentiel & Variations – Niveau 1ère Bac
I. Origines : Le Problème de la Tangente
La dérivation est née au XVIIe siècle de la nécessité de résoudre deux problèmes majeurs : définir la vitesse instantanée d’un objet (physique) et trouver la tangente à une courbe (géométrie). Isaac Newton (Angleterre) et Gottfried Wilhelm Leibniz (Allemagne) ont inventé simultanément le calcul infinitésimal pour répondre à ces questions.
L’idée géniale est de considérer une droite sécante passant par deux points A et B de la courbe, puis de rapprocher indéfiniment B vers A. La sécante « limite » devient la tangente, et sa pente est le fameux « nombre dérivé ».
II. Dérivabilité en un Point
Pour formaliser cette idée de « rapprochement », nous utilisons la notion de limite.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ contenant $x_0$.
Pour tout $x \in I$ avec $x \neq x_0$, le taux d’accroissement de $f$ entre $x_0$ et $x$ est :
On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si la limite de $T(x)$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ existe et est un nombre réel fini.
Cette limite est appelée le nombre dérivé de $f$ en $x_0$, noté $f'(x_0)$.
En posant $x = x_0 + h$ (où $h$ est un petit accroissement), on a une formule équivalente très utilisée :
III. Interprétation Géométrique
Le nombre dérivé n’est pas qu’un outil de calcul, c’est la pente de la courbe.
Si $f$ est dérivable en $x_0$, la courbe $\mathcal{C}_f$ admet au point $A(x_0, f(x_0))$ une tangente $(T)$ non verticale.
Le coefficient directeur de cette tangente est $f'(x_0)$.
L’équation réduite de la tangente est :
Si la limite du taux d’accroissement est infinie ($\pm\infty$), la fonction n’est pas dérivable en $x_0$. Graphiquement, la courbe admet une tangente verticale. (Exemple typique : $f(x)=\sqrt{x}$ en 0).
Si les limites à gauche et à droite sont différentes, on a un point anguleux (Exemple : $f(x)=|x|$ en 0).
IV. La Fonction Dérivée
Si une fonction est dérivable en tout point d’un intervalle $I$, on peut définir une nouvelle fonction sur $I$ : la fonction dérivée $f’$.
Tableau de Référence des Dérivées Usuelles
| Fonction \(f(x)\) | Dérivée \(f'(x)\) | Domaine de validité |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x\) | \(1\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{N}^*\)) | \(n x^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(-\frac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0, +\infty[\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
V. Opérations sur les Dérivées
La linéarité de la dérivation est une propriété puissante, mais attention aux produits et quotients !
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$.
- Somme : \((u+v)’ = u’ + v’\)
- Produit par un réel : \((\lambda u)’ = \lambda u’\)
- Produit : \((uv)’ = u’v + uv’\) (Attention !)
- Inverse : \((\frac{1}{v})’ = -\frac{v’}{v^2}\) (où \(v \neq 0\))
- Quotient : \((\frac{u}{v})’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}\)
VI. Dérivée des Fonctions Composées
C’est l’étape supérieure, indispensable pour dériver des fonctions comme $\sqrt{x^2+1}$ ou $\cos(2x)$.
La dérivée de la fonction composée $x \mapsto f(ax+b)$ est $a \times f'(ax+b)$.
Plus généralement, \((v \circ u)’ = u’ \times (v’ \circ u)\).
- \((u^n)’ = n \cdot u’ \cdot u^{n-1}\)
- \((\sqrt{u})’ = \frac{u’}{2\sqrt{u}}\) (Condition $u > 0$)
- \((\sin(ax+b))’ = a \cos(ax+b)\)
VII. Applications : Sens de Variation
C’est l’application principale de la dérivation au lycée : étudier les variations d’une fonction.
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
- Si $\forall x \in I, f'(x) > 0$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
- Si $\forall x \in I, f'(x) < 0$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
- Si $\forall x \in I, f'(x) = 0$, alors $f$ est constante sur $I$.
VIII. Extremums Locaux
Si la dérivée $f’$ s’annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local (minimum ou maximum) en $x_0$.
Attention : Si $f'(x_0) = 0$ mais ne change pas de signe (comme $x^3$ en 0), ce n’est pas un extremum (c’est un point d’inflexion).
IX. Synthèse et Pièges Classiques
- ⛔ Dérivée de $1/x$ est $ln(x)$ (Confusion primitive/dérivée). C’est $-1/x^2$.
- ⛔ $(uv)’ = u’v’$ (Faux ! C’est $u’v + uv’$).
- ⛔ $(\frac{u}{v})’ = \frac{u’}{v’}$ (Faux ! Formule du quotient).
- ⛔ Oublier le $u’$ dans la dérivée composée : $(\sqrt{u})’ = \frac{1}{2\sqrt{u}}$. Il manque le $u’$ au numérateur.