Dérivée selon un Vecteur
Les dérivées partielles mesurent la variation d’une fonction le long des directions des axes de coordonnées. La dérivée selon un vecteur, ou dérivée directionnelle, généralise cette idée à une direction quelconque, donnée par un vecteur. C’est un concept essentiel en physique (pour mesurer la variation d’un champ comme la température ou la pression dans une direction donnée) et en optimisation.
1. Définition Formelle
La dérivée directionnelle se définit comme la dérivée de la fonction restreinte à la droite passant par le point d’étude et dirigée par le vecteur direction.
Soit $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n$ une fonction définie sur un ouvert $U$, soit $a \in U$ un point, et soit $v \in \mathbb{R}^p$ un vecteur non nul.
La dérivée de $f$ au point $a$ selon le vecteur $v$, notée $D_v f(a)$, est la limite (si elle existe) :
$$ D_v f(a) = \lim_{t \to 0} \frac{f(a+tv) – f(a)}{t} $$
Remarques :
- Si on choisit pour $v$ le $i$-ème vecteur de la base canonique $e_i = (0, \dots, 1, \dots, 0)$, on retrouve la définition de la dérivée partielle : $D_{e_i} f(a) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$.
- Pour que la dérivée directionnelle représente un taux de variation « pur », indépendant de la longueur du vecteur $v$, on choisit souvent $v$ comme un vecteur unitaire ($\|v\|=1$).
2. Formule de Calcul via la Différentielle
Si la fonction est différentiable, le calcul de la dérivée directionnelle devient très simple et ne nécessite pas de revenir à la définition par la limite.
Si la fonction $f$ est différentiable en un point $a$, alors la dérivée directionnelle $D_v f(a)$ existe pour tout vecteur $v \in \mathbb{R}^p$ et est donnée par : $$ D_v f(a) = df_a(v) = J_f(a) \cdot v $$ où $df_a$ est la différentielle de $f$ en $a$ et $J_f(a)$ est sa matrice jacobienne.
C’est le cas d’usage le plus important. La formule se simplifie en un produit scalaire avec le vecteur gradient : $$ D_v f(a) = \nabla f(a) \cdot v $$
3. Interprétation Fondamentale du Vecteur Gradient
Cette dernière formule donne une signification géométrique profonde au vecteur gradient.
Rappelons que le produit scalaire est donné par $\nabla f(a) \cdot v = \|\nabla f(a)\| \|v\| \cos(\theta)$, où $\theta$ est l’angle entre les deux vecteurs.
Si on choisit $v$ comme un vecteur unitaire ($\|v\|=1$), la dérivée directionnelle devient :
$$ D_v f(a) = \|\nabla f(a)\| \cos(\theta) $$
Analysons cette expression :
- La dérivée directionnelle est maximale lorsque $\cos(\theta)=1$, c’est-à-dire quand $\theta=0$. Cela se produit quand le vecteur de direction $v$ pointe dans la même direction que le gradient $\nabla f(a)$. La valeur de cette pente maximale est alors $\|\nabla f(a)\|$.
- La dérivée directionnelle est nulle lorsque $\cos(\theta)=0$, c’est-à-dire quand $\theta=\pi/2$. Cela se produit quand $v$ est orthogonal au gradient. Les directions orthogonales au gradient sont les directions tangentes aux lignes (ou surfaces) de niveau.
- La dérivée directionnelle est minimale (la plus forte pente descendante) lorsque $\cos(\theta)=-1$, c’est-à-dire quand $v$ pointe dans la direction opposée au gradient.
Le vecteur gradient $\nabla f(a)$ d’une fonction scalaire en un point $a$ a deux caractéristiques :
- Sa direction est celle de la plus grande pente (ou du plus grand taux de variation) de la fonction en ce point.
- Sa norme $\|\nabla f(a)\|$ est la valeur de cette plus grande pente.
Exemple de Calcul
Soit la fonction $f(x,y) = x^3 – 2xy + e^y$. On veut calculer la dérivée de $f$ au point $a=(1,0)$ dans la direction du vecteur $v=(3,4)$.
- Calculer le gradient de f : $$ \nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (3x^2 – 2y, -2x + e^y) $$
- Évaluer le gradient au point a=(1,0) : $$ \nabla f(1,0) = (3(1)^2 – 2(0), -2(1) + e^0) = (3, -2+1) = (3, -1) $$
- Normaliser le vecteur direction v=(3,4) : $$ \|v\| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 $$ Le vecteur unitaire est $u = \frac{v}{\|v\|} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$.
- Calculer la dérivée directionnelle : $$ D_u f(1,0) = \nabla f(1,0) \cdot u = (3, -1) \cdot \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) = 3 \cdot \frac{3}{5} + (-1) \cdot \frac{4}{5} = \frac{9}{5} – \frac{4}{5} = \frac{5}{5} = 1 $$
Cela signifie que si l’on se déplace depuis le point (1,0) dans la direction de (3,4), la fonction $f$ augmente initialement avec une pente de 1.