La Formule de Taylor-Young
La formule de Taylor-Young est l’un des outils les plus puissants de l’analyse à plusieurs variables. Elle généralise les développements limités des fonctions d’une variable et permet d’approcher localement une fonction régulière par un polynôme de plusieurs variables. Cette approximation polynomiale est la clé pour comprendre le comportement local d’une fonction, notamment pour l’étude des extrémums.
1. Formule à l’Ordre 1
Le développement de Taylor-Young à l’ordre 1 n’est autre que la définition de la différentiabilité.
Soit $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$ une fonction de classe C¹ sur un ouvert $U$. Pour tout $a \in U$, on a : $$ f(a+h) = f(a) + \sum_{i=1}^p h_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) + o(\|h\|) $$ Avec le gradient, cette formule s’écrit de manière plus compacte : $$ f(a+h) = f(a) + \nabla f(a) \cdot h + o(\|h\|) $$
La partie polynomiale $P_1(h) = f(a) + \nabla f(a) \cdot h$ est l’approximation affine de $f$ au voisinage de $a$.
2. Formule à l’Ordre 2
C’est la formule la plus utilisée en pratique, notamment pour l’optimisation. Elle fait intervenir la matrice Hessienne pour capturer la « courbure » de la fonction.
Soit $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$ une fonction de classe C² sur un ouvert $U$. Pour tout $a \in U$, on a : $$ f(a+h) = f(a) + \nabla f(a) \cdot h + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^p \sum_{j=1}^p h_i h_j \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) + o(\|h\|^2) $$ Avec la matrice Hessienne $H_f(a)$, cette formule s’écrit de manière beaucoup plus lisible : $$ f(a+h) = f(a) + \nabla f(a) \cdot h + \frac{1}{2} h^T H_f(a) h + o(\|h\|^2) $$
Le terme quadratique $\frac{1}{2} h^T H_f(a) h$ est une forme quadratique. Le polynôme $P_2(h) = f(a) + \nabla f(a) \cdot h + \frac{1}{2} h^T H_f(a) h$ est la meilleure approximation quadratique de $f$ au voisinage de $a$. [Image d’une surface avec son paraboloïde osculateur]
3. Application à l’Étude des Points Critiques
La formule de Taylor-Young est l’outil qui justifie le test de la dérivée seconde pour déterminer la nature d’un point critique.
Soit $a$ un point critique d’une fonction $f$ de classe C². Par définition, le gradient en ce point est nul : $\nabla f(a) = \vec{0}$.
La formule de Taylor-Young à l’ordre 2 au voisinage de $a$ se simplifie alors considérablement :
$$ f(a+h) – f(a) = \frac{1}{2} h^T H_f(a) h + o(\|h\|^2) $$
Pour un vecteur $h$ de norme très petite, le signe de la différence $f(a+h) – f(a)$ est déterminé par le signe de la forme quadratique $q(h) = h^T H_f(a) h$.
- Si la forme quadratique est définie positive (i.e., $q(h)>0$ pour tout $h \neq \vec{0}$), alors $f(a+h) > f(a)$ au voisinage de $a$. Le point $a$ est un minimum local.
- Si la forme quadratique est définie négative (i.e., $q(h)<0$ pour tout $h \neq \vec{0}$), alors $f(a+h) < f(a)$ au voisinage de $a$. Le point $a$ est un maximum local.
- Si la forme quadratique prend des valeurs positives et négatives, alors $a$ est un point selle.
L’étude du signe de la forme quadratique se ramène à l’étude du signe des valeurs propres de la matrice Hessienne $H_f(a)$.
Exemple de Développement
Donner le développement de Taylor-Young à l’ordre 2 de $f(x,y) = e^{x+y}$ au voisinage de $a=(0,0)$.
- Terme d’ordre 0 : $f(0,0) = e^0 = 1$.
- Termes d’ordre 1 (gradient) : $$ \frac{\partial f}{\partial x} = e^{x+y}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = e^{x+y} $$ Au point $(0,0)$, on a $\nabla f(0,0) = (1,1)$. Le terme linéaire est $1 \cdot h_x + 1 \cdot h_y = h_x+h_y$.
- Termes d’ordre 2 (Hessienne) :
$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = e^{x+y}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = e^{x+y}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = e^{x+y} $$
Au point $(0,0)$, la matrice Hessienne est $H_f(0,0) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.
Le terme quadratique est $\frac{1}{2} (h_x, h_y) \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_x \\ h_y \end{pmatrix} = \frac{1}{2} (h_x+h_y, h_x+h_y) \begin{pmatrix} h_x \\ h_y \end{pmatrix} = \frac{1}{2} (h_x^2 + 2h_xh_y + h_y^2)$. - Formule complète : $$ f(h_x, h_y) = 1 + (h_x+h_y) + \frac{1}{2}(h_x+h_y)^2 + o(\|(h_x,h_y)\|^2) $$ On retrouve le développement limité de $e^u$ avec $u=h_x+h_y$.