Formule du Changement de Variables
En calcul intégral, la formule du changement de variables est la généralisation aux dimensions supérieures de la méthode de substitution (le « changement de variable $u = \dots$ ») pour les intégrales simples. C’est un outil extraordinairement puissant qui permet de simplifier le calcul d’une intégrale double ou triple en changeant le système de coordonnées. L’objectif est de transformer soit un domaine d’intégration complexe en un domaine plus simple (souvent un rectangle), soit une fonction à intégrer compliquée en une fonction plus facile à manipuler.
Le cœur de cette transformation est le Jacobien, un facteur de correction qui tient compte de la manière dont le changement de coordonnées déforme les aires ou les volumes infinitésimaux.
1. L’Intuition : Déformation des Aires et le Jacobien
Considérons une transformation (un changement de coordonnées) $T$ qui envoie un point $(u,v)$ d’un plan de paramètres vers un point $(x,y)$ du plan cartésien : $$ T(u,v) = (x(u,v), y(u,v)) $$ Imaginons un petit rectangle dans le plan $(u,v)$ de dimensions $du$ et $dv$. Son aire est $dA^* = du \, dv$. La transformation $T$ va mapper ce petit rectangle en une forme dans le plan $(x,y)$ qui, à l’échelle infinitésimale, est un petit parallélogramme.
[Image d’une transformation mappant une grille rectangulaire en une grille courbe]Les côtés de ce parallélogramme sont donnés par les vecteurs tangents à la transformation : $\vec{r}_u du$ et $\vec{r}_v dv$, où $\vec{r}(u,v)=(x(u,v), y(u,v))$. L’aire $dA$ de ce parallélogramme est la norme du produit vectoriel de ses côtés : $$ dA = \|\vec{r}_u du \wedge \vec{r}_v dv\| = \|\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v\| \,du \,dv $$ Le terme $\|\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v\|$ est précisément la valeur absolue du déterminant de la matrice jacobienne de la transformation.
Pour une transformation $T(u,v) = (x(u,v), y(u,v))$, la matrice jacobienne est : $$ J_T(u,v) = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} $$ Le déterminant jacobien (ou simplement Jacobien) est le déterminant de cette matrice : $$ \det(J_T) = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} – \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u} $$ La relation fondamentale est que l’élément d’aire se transforme comme suit : $$ dx \, dy = |\det(J_T(u,v))| \,du \,dv $$
2. La Formule du Changement de Variables
Soit $T: D^* \to D$ une transformation de classe C¹ qui est une bijection d’un domaine $D^*$ du plan $(u,v)$ vers un domaine $D$ du plan $(x,y)$. Soit $f(x,y)$ une fonction continue sur $D$.
Alors :
$$ \iint_D f(x,y) \,dx \,dy = \iint_{D^*} f(x(u,v), y(u,v)) \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| \,du \,dv $$
où $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ est une autre notation pour le déterminant jacobien.
Application aux Coordonnées Polaires
C’est le changement de variables le plus célèbre et le plus utile.
- Transformation : $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$.
- Jacobien : $$ \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} = r\cos^2\theta – (-r\sin^2\theta) = r $$
- Formule : $dx \,dy = |r| \,dr \,d\theta = r \,dr \,d\theta$ (puisque $r \ge 0$).
Exemple : Calculer l’intégrale de Gauss $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx$.
Soit $I$ cette intégrale. On a $I^2 = (\int e^{-x^2}dx)(\int e^{-y^2}dy) = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} \,dx\,dy$.
On passe en polaires : $x^2+y^2=r^2$ et $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$. Le domaine $\mathbb{R}^2$ devient $0 \le r < \infty$ et $0 \le \theta \le 2\pi$.
$$ I^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty e^{-r^2} r \,dr \,d\theta = \left(\int_0^{2\pi} d\theta\right) \left(\int_0^\infty re^{-r^2} dr\right) $$
$$ = (2\pi) \left[ -\frac{1}{2}e^{-r^2} \right]_0^\infty = (2\pi) (0 - (-\frac{1}{2})) = \pi $$
Donc $I^2=\pi$, d'où $I=\sqrt{\pi}$.
3. Généralisation aux Intégrales Triples
Le principe est exactement le même en 3D. Le Jacobien mesure la déformation d’un petit cube en un petit parallélépipède, et sa valeur absolue donne le facteur de changement de volume.
Coordonnées Cylindriques
- Transformation : $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $z = z$.
- Jacobien : $\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)} = \det \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = r$.
- Formule : $dx \,dy \,dz = r \,dr \,d\theta \,dz$.
Coordonnées Sphériques
- Transformation : $x = \rho\sin\phi\cos\theta$, $y = \rho\sin\phi\sin\theta$, $z = \rho\cos\phi$.
- Jacobien : Le calcul est plus long mais mène à $\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\phi,\theta)} = \rho^2\sin\phi$.
- Formule : $dx \,dy \,dz = \rho^2\sin\phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta$.
Exemple : Volume d’une sphère de rayon $R$.
Le domaine en sphériques est $0 \le \rho \le R$, $0 \le \phi \le \pi$, $0 \le \theta \le 2\pi$.
$$ V = \iiint_E 1 \,dx\,dy\,dz = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^R \rho^2\sin\phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta $$
$$ = \left(\int_0^R \rho^2 d\rho\right) \left(\int_0^\pi \sin\phi d\phi\right) \left(\int_0^{2\pi} d\theta\right) = \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_0^R [-\cos\phi]_0^\pi [\theta]_0^{2\pi} = \left(\frac{R^3}{3}\right)(2)(2\pi) = \frac{4}{3}\pi R^3 $$