ENCYCLOPÉDIE MATHÉMATIQUE – VERSION ACADÉMIQUE COMPLÈTE
Logique Mathématique
Fondements du Raisonnement Scientifique – Niveau 1ère Bac
- I. Introduction : L’Art de la Pensée Rigoureuse
- II. Le Concept de Proposition Logique
- III. Les Opérateurs Logiques Fondamentaux
- IV. Les Quantificateurs : Universalité et Existence
- V. L’Implication Mathématique : Le Cœur de la Déduction
- VI. L’Équivalence Logique
- VII. Lois Logiques et Algèbre de Boole
- VIII. Le Raisonnement par Contre-Exemple
- IX. Le Raisonnement par Contraposée
- X. Le Raisonnement par l’Absurde
- XI. Le Raisonnement par Disjonction des Cas
- XII. Le Raisonnement par Récurrence
- XIII. Synthèse et Pièges Classiques
I. Introduction : L’Art de la Pensée Rigoureuse
La logique mathématique ne se résume pas à une simple manipulation de symboles. Elle est l’héritière d’une longue tradition philosophique visant à formaliser la pensée humaine pour éviter l’erreur. Aristote (IVe siècle av. J.-C.) fut le premier à codifier les règles du syllogisme, posant les bases de la logique formelle. Cependant, il a fallu attendre le XIXe siècle avec des mathématiciens comme George Boole et Gottlob Frege pour voir naître la logique symbolique moderne, celle qui permet aujourd’hui le fonctionnement de nos ordinateurs et la rigueur de nos démonstrations.
En 1ère année du Baccalauréat Sciences, ce chapitre est la clé de voûte de votre formation. Il ne s’agit pas seulement d’apprendre des formules, mais d’apprendre à penser juste, à construire une argumentation inattaquable et à détecter les failles dans un raisonnement.
II. Le Concept de Proposition Logique
Le point de départ de la logique est la proposition (ou assertion). C’est l’atome du langage mathématique.
Une proposition est un énoncé déclaratif auquel on peut attribuer sans ambiguïté une et une seule valeur de vérité : soit VRAI ($V$ ou 1), soit FAUX ($F$ ou 0).
On note souvent les propositions par des lettres majuscules : $P, Q, R…$
- « Paris est la capitale de la France. » : C’est une proposition VRAIE.
- « 2 + 2 = 5. » : C’est une proposition FAUSSE.
- « Quelle belle journée ! » : Ce n’est PAS une proposition (c’est une exclamation, elle n’a pas de valeur de vérité objective).
- « x + 1 = 3. » : Ce n’est pas une proposition en l’état, car on ne connaît pas $x$. C’est une fonction propositionnelle ou un prédicat. Elle devient une proposition si on quantifie $x$ ou si on lui donne une valeur.
III. Les Opérateurs Logiques Fondamentaux
Pour construire des raisonnements, nous avons besoin de lier des propositions simples entre elles. C’est le rôle des connecteurs logiques.
3.1 La Négation (NON)
L’opérateur de négation inverse la valeur de vérité.
La négation d’une proposition $P$, notée $\bar{P}$ ou $\neg P$, est la proposition qui est vraie si $P$ est fausse, et fausse si $P$ est vraie.
3.2 La Conjonction (ET)
La conjonction de deux propositions $P$ et $Q$, notée $P \land Q$ (lire « P et Q »), est vraie si et seulement si $P$ est vraie ET $Q$ est vraie simultanément.
3.3 La Disjonction (OU)
La disjonction de deux propositions $P$ et $Q$, notée $P \lor Q$ (lire « P ou Q »), est vraie si au moins l’une des deux propositions est vraie.
En français courant, « ou » peut être exclusif (« fromage ou dessert » = l’un ou l’autre mais pas les deux). En mathématiques, le « OU » est toujours INCLUSIF. « P ou Q » est vraie même si P et Q sont vraies toutes les deux.
Table de Vérité Récapitulative
| $P$ | $Q$ | Non $P$ ($\bar{P}$) | $P$ et $Q$ ($P \land Q$) | $P$ ou $Q$ ($P \lor Q$) |
|---|---|---|---|---|
| V | V | F | V | V |
| V | F | F | F | V |
| F | V | V | F | V |
| F | F | V | F | F |
IV. Les Quantificateurs : Universalité et Existence
Les mathématiques manipulent des ensembles. Les quantificateurs permettent de préciser l’étendue d’une propriété sur un ensemble.
4.1 Le Quantificateur Universel ($\forall$)
Le symbole $\forall$ se lit « Pour tout », « Quel que soit » ou « Pour chaque ».
Signifie : « Tous les éléments $x$ de l’ensemble $E$ vérifient la propriété $P(x)$ ».
4.2 Le Quantificateur Existentiel ($\exists$)
Le symbole $\exists$ se lit « Il existe au moins un ».
Signifie : « Il y a au moins un élément $x$ dans l’ensemble $E$ pour lequel la propriété $P(x)$ est vraie ».
Note : Le symbole $\exists !$ signifie « Il existe un UNIQUE ».
4.3 L’Ordre des Quantificateurs
Inverser deux quantificateurs change totalement le sens d’une phrase.
- $\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, y > x$ : « Pour tout nombre, on peut en trouver un plus grand ». C’est VRAI (car l’ensemble des réels n’est pas majoré).
- $\exists y \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}, y > x$ : « Il existe un nombre qui est plus grand que tous les nombres ». C’est FAUX (ce serait le plus grand nombre de tous les temps).
4.4 La Négation des Propositions Quantifiées
C’est une compétence mécanique essentielle. Pour nier une phrase mathématique :
- Le $\forall$ devient $\exists$.
- Le $\exists$ devient $\forall$.
- La propriété $P(x)$ est remplacée par sa négation $\bar{P}(x)$.
Soit la proposition $P$ : « Tous les élèves de la classe ont la moyenne ».
Formalisation : $\forall x \in \text{Classe}, \text{Note}(x) \ge 10$.
Négation $\bar{P}$ : « Il existe au moins un élève de la classe qui n’a pas la moyenne ».
Formalisation : $\exists x \in \text{Classe}, \text{Note}(x) < 10$.
V. L’Implication Mathématique : Le Cœur de la Déduction
L’implication est le lien logique qui permet de passer d’une hypothèse à une conclusion.
La proposition $P \Rightarrow Q$ (lire « P implique Q » ou « Si P alors Q ») est fausse dans un seul et unique cas : lorsque l’hypothèse $P$ est VRAIE et que la conclusion $Q$ est FAUSSE.
Dans tous les autres cas (si $P$ est faux, ou si $P$ et $Q$ sont vrais), l’implication est vraie.
Vocabulaire essentiel :
- $P$ est une condition SUFFISANTE pour $Q$ (il suffit d’avoir P pour avoir Q).
- $Q$ est une condition NÉCESSAIRE pour $P$ (si on n’a pas Q, on ne peut pas avoir P).
VI. L’Équivalence Logique
L’équivalence $P \iff Q$ signifie que $P \Rightarrow Q$ ET $Q \Rightarrow P$.
Elle est vraie si $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité.
Elle se lit : « P si et seulement si Q » ou « P équivaut à Q ».
VII. Lois Logiques et Algèbre de Boole
Certaines équivalences sont si utiles qu’elles portent des noms et servent d’outils de calcul logique.
La négation d’un groupe change les opérateurs :
- $\overline{P \land Q} \iff \bar{P} \lor \bar{Q}$ (La négation de « et » est « ou »)
- $\overline{P \lor Q} \iff \bar{P} \land \bar{Q}$ (La négation de « ou » est « et »)
Une implication peut s’écrire avec un « OU » :
Cela permet de trouver la négation d’une implication :
Exemple : La négation de « S’il pleut, je prends mon parapluie » est « Il pleut ET je ne prends pas mon parapluie ».
VIII. Le Raisonnement par Contre-Exemple
Ce type de raisonnement est une arme de destruction massive contre les propositions universelles fausses.
Pour démontrer qu’une proposition du type « $\forall x \in E, P(x)$ » est FAUSSE, il n’est pas nécessaire de prouver que c’est faux pour tout le monde. Il suffit d’exhiber UN SEUL cas particulier (le contre-exemple) pour lequel la propriété ne marche pas.
Affirmation : « Pour tout entier naturel $n$, le nombre $n^2 + n + 41$ est un nombre premier. »
Test :
- Si $n=1$, $1+1+41 = 43$ (Premier).
- Si $n=2$, $4+2+41 = 47$ (Premier).
Cela semble vrai… Mais essayons $n=41$.
$41^2 + 41 + 41 = 41(41 + 1 + 1) = 41 \times 43$.
Le résultat est divisible par 41, donc il n’est pas premier. L’affirmation universelle est donc FAUSSE.
IX. Le Raisonnement par Contraposée
C’est une méthode élégante pour démontrer des implications.
Cela signifie que prouver « Si P alors Q » revient exactement au même que prouver « Si non Q alors non P ».
Montrer que : Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.
Démonstration directe : Difficile (racine carrée…).
Par contraposée : Montrons que « Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair ».
- Si $n$ est impair, il s’écrit $n = 2k + 1$.
- Alors $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$.
- Ceci est de la forme $2K + 1$, c’est donc un nombre impair.
La contraposée est vraie, donc la proposition initiale est vraie.
X. Le Raisonnement par l’Absurde
C’est le « Judo » des mathématiques : on utilise la force de l’adversaire (la proposition contraire) pour le faire tomber.
- On veut montrer que $P$ est vraie.
- On suppose le contraire : « Supposons que $\bar{P}$ est vraie ».
- On déroule un raisonnement logique valide à partir de cette hypothèse.
- On aboutit à une CONTRADICTION (un résultat absurde, comme $0=1$ ou « x est pair et impair »).
- Conclusion : L’hypothèse de départ ($\bar{P}$) était fausse, donc $P$ est vraie.
But : Montrer que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
Supposons par l’absurde que $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$.
Alors on peut écrire $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers premiers entre eux (fraction irréductible).
En élevant au carré : $2 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 2q^2$.
Donc $p^2$ est pair, ce qui implique que $p$ est pair (voir contraposée ci-dessus). On pose $p = 2k$.
On remplace dans l’équation : $(2k)^2 = 2q^2 \Rightarrow 4k^2 = 2q^2 \Rightarrow 2k^2 = q^2$.
Donc $q^2$ est pair, ce qui implique que $q$ est pair.
Contradiction : Si $p$ et $q$ sont tous les deux pairs, ils sont divisibles par 2. La fraction n’était donc pas irréductible !
Conclusion : $\sqrt{2}$ est irrationnel.
XI. Le Raisonnement par Disjonction des Cas
Parfois, une vérité générale dépend du contexte. On sépare alors le problème en plusieurs situations distinctes.
Résoudre $|x – 3| = 2x$.
On sépare les cas selon le signe de $x-3$.
- Cas 1 : $x \ge 3$ (donc $x-3 \ge 0$).
$|x-3| = x-3$. L’équation devient $x-3 = 2x \Rightarrow x = -3$.
Or, on a supposé $x \ge 3$. Donc -3 n’est pas une solution valide dans ce cas. - Cas 2 : $x < 3$ (donc $x-3 < 0$).
$|x-3| = -(x-3) = -x+3$. L’équation devient $-x+3 = 2x \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1$.
On vérifie : $1 < 3$. C'est une solution valide.
Solution finale : $S = \{1\}$.
XII. Le Raisonnement par Récurrence
C’est l’outil fondamental pour démontrer une propriété $P(n)$ vraie pour tout entier naturel $n$. Imaginez une chaîne de dominos.
- Initialisation : On montre que la propriété est vraie pour le tout premier rang ($n_0$, souvent 0 ou 1). C’est « pousser le premier domino ».
- Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un rang $n$ arbitraire (Hypothèse de Récurrence). On montre qu’elle est alors forcément vraie pour le rang suivant $n+1$. C’est « si un domino tombe, il fait tomber le suivant ».
- Conclusion : Puisqu’elle est vraie au début et qu’elle se transmet, elle est vraie pour tout $n$.
Montrer que $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ pour tout $n \ge 1$.
1. Initialisation : Pour $n=1$, somme = 1. Formule = $\frac{1(2)}{2} = 1$. C’est vrai.
2. Hérédité : Supposons que $1 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$.
Regardons au rang $n+1$ :
Somme$_{n+1} = (1 + \dots + n) + (n+1)$
On utilise l’hypothèse : $= \frac{n(n+1)}{2} + (n+1)$
On factorise par $(n+1)$ : $= (n+1) [\frac{n}{2} + 1] = (n+1) [\frac{n+2}{2}] = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$.
C’est exactement la formule au rang $n+1$. L’hérédité est prouvée.
3. Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n \ge 1$.
XIII. Synthèse et Pièges Classiques
- ⛔ Confondre négation de $\forall$ et $\exists$. La négation de « Tout le monde est gentil » n’est pas « Personne n’est gentil », mais « Il y a au moins un méchant ».
- ⛔ Utiliser la récurrence sur les réels (ça ne marche que sur les entiers naturels !).
- ⛔ Oublier l’initialisation dans la récurrence (les dominos peuvent transmettre la chute, mais si personne ne pousse le premier, rien ne se passe).
- ⛔ Dire que si $P \Rightarrow Q$ est vraie, alors $Q \Rightarrow P$ est vraie (C’est faux ! Si je suis à Paris, je suis en France. Mais si je suis en France, je ne suis pas forcément à Paris).