La Matrice Jacobienne
La matrice jacobienne est la pierre angulaire du calcul différentiel pour les fonctions vectorielles. Si la différentielle est le concept théorique de la « meilleure approximation linéaire » d’une fonction, la matrice jacobienne en est sa représentation concrète et calculable. Elle rassemble toutes les informations de premier ordre sur une fonction en un point donné.
1. Définition Formelle
La matrice jacobienne d’une fonction $f$ en un point $a$ est la matrice dont les entrées sont les dérivées partielles des fonctions composantes de $f$ en ce point.
Soit $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n$ une fonction différentiable en un point $a \in U$. On note $f = (f_1, \dots, f_n)$ ses fonctions composantes.
La matrice jacobienne de $f$ au point $a$, notée $J_f(a)$ ou $Df(a)$, est la matrice de taille $n \times p$ définie par :
$$ J_f(a) = \begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(a) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_p}(a) \\
\frac{\partial f_2}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(a) & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_p}(a) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_n}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_n}{\partial x_2}(a) & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_p}(a)
\end{pmatrix} $$
Remarques importantes :
- La $j$-ième ligne de $J_f(a)$ est le vecteur gradient de la $j$-ième fonction composante $f_j$ : $\nabla f_j(a)$.
- La $i$-ième colonne de $J_f(a)$ est le vecteur dérivée partielle de $f$ par rapport à $x_i$ : $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$.
2. Cas Particuliers
Fonctions scalaires ($f: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$)
Si $n=1$, la fonction est à valeurs réelles. La matrice jacobienne est une matrice ligne de taille $1 \times p$. $$ J_f(a) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f}{\partial x_2}(a) & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_p}(a) \end{pmatrix} $$ Cette matrice ligne n’est autre que la transposée du vecteur gradient : $J_f(a) = (\nabla f(a))^T$.
Arcs paramétrés ($f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$)
Si $p=1$, la fonction décrit une courbe. La variable est un scalaire, souvent noté $t$. La matrice jacobienne est une matrice colonne de taille $n \times 1$. $$ J_f(t_0) = \begin{pmatrix} f’_1(t_0) \\ f’_2(t_0) \\ \vdots \\ f’_n(t_0) \end{pmatrix} = f'(t_0) $$ Cette matrice colonne est le vecteur dérivé (ou vecteur tangent) de la courbe au point $f(t_0)$.
3. Rôle Fondamental : Matrice de la Différentielle
Le rôle principal de la matrice jacobienne est de représenter l’application linéaire différentielle $df_a$.
Si $f$ est différentiable en $a$, alors pour tout vecteur d’accroissement $h \in \mathbb{R}^p$, l’action de la différentielle $df_a(h)$ est donnée par le produit matriciel : $$ df_a(h) = J_f(a) \cdot h $$ où $h$ est vu comme un vecteur colonne. Le développement limité de $f$ s’écrit alors : $$ f(a+h) = f(a) + J_f(a) \cdot h + o(\|h\|) $$
4. Interprétation Géométrique
La matrice jacobienne décrit la manière dont la fonction $f$ déforme localement l’espace au voisinage du point $a$. C’est une transformation linéaire qui, localement, transforme des petits carrés en parallélogrammes, des petits cubes en parallélépipèdes, etc.
[Image d’une transformation linéaire déformant une grille]Dans le cas où $p=n$ (champs de vecteurs), la matrice jacobienne est une matrice carrée. Son déterminant a une signification particulière.
Lorsque $p=n$, le déterminant de la matrice jacobienne est appelé le Jacobien de la fonction $f$. On le note $\det(J_f(a))$.
La valeur absolue du Jacobien, $|\det(J_f(a))|$, représente le facteur de changement de volume (ou d’aire en 2D) local induit par la fonction $f$. Si le Jacobien vaut 2 en un point, cela signifie que $f$ dilate les petits volumes autour de ce point par un facteur 2. C’est ce terme qui apparaît dans les formules de changement de variables pour les intégrales multiples.