La Propriété de Bolzano-Weierstrass
La propriété de Bolzano-Weierstrass offre une perspective différente sur la compacité, basée sur le comportement des suites. Elle est souvent plus intuitive que la définition par les recouvrements d’ouverts. Elle stipule qu’à l’intérieur d’un espace compact, une suite ne peut pas « s’échapper » sans que certains de ses termes ne s’accumulent quelque part.
Un espace topologique $X$ est dit séquentiellement compact si toute suite d’éléments de $X$ admet au moins une sous-suite convergente (dont la limite est dans $X$).
Dans le cadre des espaces métriques (et donc dans $\mathbb{R}^n$), la compacité et la compacité séquentielle sont équivalentes.
Lien avec la Compacité
Pour les espaces métriques et en particulier pour $\mathbb{R}^n$, le théorème de Bolzano-Weierstrass est une caractérisation de la compacité. On peut donc énoncer le théorème de Heine-Borel de la manière suivante :
Une partie $A$ de $\mathbb{R}^n$ est fermée et bornée si et seulement si de toute suite d’éléments de $A$, on peut extraire une sous-suite qui converge vers un élément de $A$.
Exemples et Contre-exemples
- Dans l’intervalle compact $[0, 1]$ : La suite $(x_n)$ définie par $x_n = (-1)^n$ a tous ses termes dans $[-1, 1]$. Elle ne converge pas. Cependant, on peut extraire la sous-suite $(x_{2k}) = (1)$ qui converge vers 1, et la sous-suite $(x_{2k+1}) = (-1)$ qui converge vers -1. Les deux limites sont dans $[-1, 1]$.
- Dans l’intervalle non-compact $]0, 1]$ : Considérons la suite $(x_n = 1/n)_{n \ge 1}$. Tous les termes de la suite sont dans $]0, 1]$. Cette suite converge vers 0, mais 0 n’appartient pas à l’intervalle. Aucune sous-suite ne peut converger vers une limite à l’intérieur de $]0, 1]$.
- Dans l’ensemble non-compact $\mathbb{R}$ : La suite $(x_n = n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de réels. Elle ne converge pas et n’admet aucune sous-suite convergente (elle « s’échappe vers l’infini »).