I) RAPPELS ET COMPLÉMENTS
1) La symétrie axiale
Soit (D) une droite donnée. On dit que le point \(M’\) est le symétrique du point M par rapport à (D) si :
- \(M’ = M\) si \(M \in (D)\)
- (D) est la médiatrice du segment \([MM’]\), si \(M \notin (D)\).
La relation qui lie le point M à M’ s’appelle la symétrie axiale d’axe (D) ; se note par \(\mathcal{S}_{(D)}\). On écrit : \(S_{(D)}(M) = M’\).
- Si \(M \notin (D)\) alors \(M’ = S_{(D)}(M) \neq M\) et (D) est la médiatrice du segment \([MM’]\) c’est-à-dire passe par I milieu de \([MM’]\) et perpendiculaire à \((MM’)\).
- Si \(N \in (D)\) alors \(S_{(D)}(N) = N\), on dit que N est invariant par \(S_{(D)}\).
- Inversement, si un point N est invariant par \(S_{(D)}\) alors \(N \in (D)\).
La symétrie axiale conserve :
- Les distances : si \(M’ = S_{(D)}(M)\) et \(N’ = S_{(D)}(N)\) alors \(MN = M’N’\).
- Le milieu d’un segment et en général le barycentre d’un système pondéré.
- Les mesures des angles géométriques.
- Le coefficient de colinéarité de deux vecteurs.
- Attention : La symétrie axiale inverse les mesures des angles orientés : \((\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv -(\vec{A’B’}, \vec{A’C’}) [2\pi]\).
La symétrie axiale \(S_{(\Delta)}\) est une bijection et sa bijection réciproque est elle-même.
Preuve : \(S_{(\Delta)}(M) = M’ \iff S_{(\Delta)}(M’) = M\).
2) Les angles orientés
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non nuls ; et soient A et B deux points du plan orienté tels que \(\vec{u} = \vec{OA}\) et \(\vec{v} = \vec{OB}\). L’angle orienté des demi-droites [OA) ; [OB) s’appelle aussi angle orienté des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) et on le note par : \((\vec{u}, \vec{v})\). La mesure de l’angle orienté \((\vec{u}, \vec{v})\) est la mesure de l’angle orienté ([OA), [OB)) et se note par \((\widehat{\vec{u}, \vec{v}})\).
Soient \(\vec{u}, \vec{v}\) et \(h, k\) deux réels non nuls ; on a :
- \((\vec{v}, \vec{u}) \equiv -(\vec{u}, \vec{v}) [2\pi]\)
- Si \(hk > 0\) alors : \((h\vec{u}, k\vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) [2\pi]\)
- Si \(hk < 0\) alors : \((h\vec{u}, k\vec{v}) \equiv \pi + (\vec{u}, \vec{v}) [2\pi]\)
Soient (D) et (\(\Delta\)) deux droites de vecteurs directeurs respectifs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) et qui se coupent en A, soient B un point de (D) et C un point de (\(\Delta\)). On a : \(2(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv 2(\vec{u}, \vec{v}) [2\pi]\).
II) LA ROTATION DANS LE PLAN
1) Définition
1.1 Composition de deux symétries axiales
Soient (\(\Delta\)) et (\(\Delta’\)) deux droites sécantes en O ; \(M_1 = S_{(\Delta)}(M)\) et \(M’ = S_{(\Delta’))}(M_1)\). Soit \((\vec{u}, \vec{v}) \equiv \alpha [2\pi]\) où \(\vec{u}\) est un vecteur directeur de (\(\Delta\)) et \(\vec{v}\) un vecteur directeur de (\(\Delta’\)).
- Quelle est l’application qui transforme M en \(M’\) ?
- Montrer que \(OM = OM’\).
- Montrer que pour tout M dans le plan la mesure : \((\vec{OM}, \vec{OM’})\) est constante.
Soient (\(\Delta\)) et (\(\Delta’\)) deux droites sécantes en O ; \(S_{(\Delta)}\) et \(S_{(\Delta’)}\) les symétries axiales d’axes respectifs (\(\Delta\)) et (\(\Delta’\)). Soit \((\vec{u}, \vec{v}) \equiv \alpha [2\pi]\) où \(\vec{u}\) est un vecteur directeur de (\(\Delta\)) et \(\vec{v}\) un vecteur directeur de (\(\Delta’\)).
L’application \(S_{(\Delta’)} \circ S_{(\Delta)}\) transforme le point M en \(M’\) tel que : \(OM = OM’\) et \((\vec{OM}, \vec{OM’}) \equiv 2\alpha [2\pi]\).
L’application \((S_{(\Delta’)} \circ S_{(\Delta)})\) s’appelle la rotation de centre O et d’angle \(2\alpha\).
1.2 Définition de la rotation
Soit \(\Omega\) un point dans le plan et \(\theta\) un nombre réel, la rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\) est l’application qui transforme tout point M en \(M’\) tel que :
On la note par : \(R_{(\Omega, \theta)}\).
Si l’angle de la rotation est non nul, son centre est le seul point invariant.
- La symétrie centrale \(S_O\) est la rotation de centre O et d’angle \(\pi\).
- L’identité \(Id_P\) est la rotation d’angle nul (tous les points du plan sont centres de cette rotation).
- Si ABCD est un carré de centre O, R est la rotation de centre O et d’angle \(\frac{\pi}{2}\). On a : \(R(A)=B\) ; \(R(B)=C\) et \(R(D)=A\).
III) PROPRIÉTÉS DE LA ROTATION
2.1 La décomposition d’une rotation
Soit R la rotation de centre O et d’angle \(\alpha\).
- Soit (\(\Delta\)) une droite quelconque qui passe par O et (\(\Delta’\)) l’image de (\(\Delta\)) par la rotation r de centre O et d’angle \(\frac{\alpha}{2}\). Alors : \(S_{(\Delta’)} \circ S_{(\Delta)} = R\).
- Soit (\(\Delta\)) une droite quelconque qui passe par O et (\(\Delta’\)) l’image de (\(\Delta\)) par la rotation r de centre O et d’angle \(-\frac{\alpha}{2}\). Alors : \(S_{(\Delta)} \circ S_{(\Delta’)} = R\).
Soit R la rotation de centre O et d’angle \(\alpha\) ; la rotation R peut être décomposée comme suit :
- \(R = S_{(\Delta’)} \circ S_{(\Delta)}\) où (\(\Delta’\)) est l’image de (\(\Delta\)) par la rotation r de centre O et d’angle \(\frac{\alpha}{2}\).
- \(R = S_{(\Delta)} \circ S_{(\Delta’)}\) où (\(\Delta’\)) est l’image de (\(\Delta\)) par la rotation r de centre O et d’angle \(-\frac{\alpha}{2}\).
2.2 Propriétés d’une rotation
Puisque toute rotation est la composition de deux symétries axiales, on peut en déduire les propriétés suivantes :
- La rotation est une isométrie (elle conserve les distances) : si \(R(A) = A’\) et \(R(B) = B’\) alors \(A’B’ = AB\).
- La rotation conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs et par suite conserve la linéarité des points.
- La rotation conserve le milieu et le barycentre d’un système pondéré.
- La rotation conserve les mesures des angles géométriques.
- La rotation conserve les mesures des angles orientés (les deux symétries qui composent la rotation inversent les mesures, leur composée les conserve).
- Soient O, A, B et C quatre points dans le plan tels que \(OA=OB\) ; construire le point D image de C par la rotation de centre O qui transforme A en B.
- Soient A, B, C et D quatre points dans le plan tels que \(AC=BD\) et \((AB) \neq (CD)\) ; déterminer le centre de la rotation qui transforme A en B et C en D.
La rotation \(R_{(\Omega, \theta)}\) est une bijection et sa bijection réciproque est la bijection \(R_{(\Omega, -\theta)}\).
Preuve : \(R_{(\Omega, \theta)}(M) = M’ \iff R_{(\Omega, -\theta)}(M’) = M\).
Soit \(R_{(\Omega, \theta)}\) la rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\theta\). Si \(R(M)=M’\) et \(R(N)=N’\), alors :
Preuve : \((\vec{MN}, \vec{M’N’}) \equiv (\vec{MN}, \vec{\Omega M}) + (\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M’}) + (\vec{\Omega M’}, \vec{M’N’}) [2\pi]\). Comme la rotation conserve les angles orientés, \((\vec{MN}, \vec{\Omega M}) \equiv (\vec{M’N’}, \vec{\Omega M’}) [2\pi]\), d’où le résultat.
IV) COMPOSITION DE DEUX ROTATIONS
1) Composition de deux rotations de même centre
La composition de deux rotations \(R_{(\Omega, \alpha)}\) et \(R’_{(\Omega, \beta)}\) de même centre est la rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \((\alpha + \beta)\) :
On sait que la rotation \(R_{(\Omega, \alpha)}\) est une bijection et sa bijection réciproque est \(R’_{(\Omega, -\alpha)}\) : \(R’_{(\Omega, -\alpha)} \circ R_{(\Omega, \alpha)} = Id_P\).
2) Composition de deux rotations de centres différents
2.1 Composition de deux symétries axiales d’axes parallèles
La composition de deux symétries axiales \(S_{(\Delta)}\) et \(S’_{(\Delta’)}\) d’axes parallèles est la translation de vecteur \(2\vec{AB}\) où A et B sont les intersections respectives d’une droite (D) perpendiculaire à (\(\Delta\)) avec (\(\Delta\)) et (\(\Delta’\)).
2.2 Étude générale
Soient \(R_{(O, \alpha)}\) et \(R’_{(\Omega, \beta)}\) deux rotations où \(\Omega \neq O\). On s’intéresse à la nature de \(R’ \circ R\).
On décompose chaque rotation en deux symétries axiales en choisissant judicieusement l’un des axes comme étant la droite \((O\Omega)\). Posons \((\Delta) = (O\Omega)\).
- \(R = S_{(\Delta)} \circ S_{(\Delta_1)}\) où \((\Delta_1)\) est l’image de \((\Delta)\) par la rotation de centre O et d’angle \(-\frac{\alpha}{2}\).
- \(R’ = S_{(\Delta_2)} \circ S_{(\Delta)}\) où \((\Delta_2)\) est l’image de \((\Delta)\) par la rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\frac{\beta}{2}\).
Alors : \(R’ \circ R = S_{(\Delta_2)} \circ S_{(\Delta)} \circ S_{(\Delta)} \circ S_{(\Delta_1)} = S_{(\Delta_2)} \circ S_{(\Delta_1)}\).
La nature de \(R’ \circ R\) dépend de la position relative de \((\Delta_1)\) et \((\Delta_2)\) :
Soient \(R_{(O, \alpha)}\) et \(R’_{(\Omega, \beta)}\) deux rotations dans le plan où \(\Omega \neq O\).
- Si \(\alpha + \beta \not\equiv 0 [2\pi]\) alors \(R’ \circ R\) est une rotation d’angle \(\alpha + \beta\).
- Si \(\alpha + \beta \equiv 0 [2\pi]\) alors \(R’ \circ R\) est une translation.
Pour déterminer les éléments caractéristiques (centre, vecteur), il est indispensable de maîtriser les étapes de la démonstration par décomposition en symétries axiales.