Le Groupe des Permutations $\mathcal{S}_n$
Le groupe symétrique, ou groupe des permutations, est un exemple central et fondamental en théorie des groupes. Il décrit toutes les manières possibles de réarranger un ensemble fini d’objets. C’est le premier exemple de groupe non commutatif que l’on rencontre généralement.
Soit $E_n = \{1, 2, \dots, n\}$ un ensemble fini à $n$ éléments.
Une permutation de $E_n$ est une application bijective de $E_n$ dans lui-même.
L’ensemble de toutes les permutations de $E_n$, noté $\mathcal{S}_n$, muni de la loi de composition des applications ($\circ$), forme un groupe appelé le groupe symétrique d’indice $n$.
- Loi : La loi est la composition $\circ$, qui est bien associative.
- Élément neutre : C’est l’application identité, $Id$, qui laisse chaque élément inchangé.
- Symétrique : Le symétrique d’une permutation $\sigma$ est sa bijection réciproque $\sigma^{-1}$.
- Ordre du groupe : Le nombre de permutations d’un ensemble à $n$ éléments est $n!$. L’ordre du groupe $\mathcal{S}_n$ est donc $|\mathcal{S}_n| = n!$.
- Commutativité : Le groupe $\mathcal{S}_n$ est non abélien (non commutatif) dès que $n \ge 3$.
Exemple : Le Groupe $\mathcal{S}_3$
C’est le groupe des permutations de l’ensemble $\{1, 2, 3\}$. Son ordre est $3! = 6$. Ses éléments sont :
- $Id = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ (l’identité)
- $\tau_{12} = (1 \ 2) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ (la transposition qui échange 1 et 2)
- $\tau_{13} = (1 \ 3) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ (la transposition qui échange 1 et 3)
- $\tau_{23} = (2 \ 3) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ (la transposition qui échange 2 et 3)
- $\sigma_1 = (1 \ 2 \ 3) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ (le cycle qui envoie 1 sur 2, 2 sur 3, 3 sur 1)
- $\sigma_2 = (1 \ 3 \ 2) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ (le cycle qui envoie 1 sur 3, 3 sur 2, 2 sur 1)
Pour montrer la non-commutativité, calculons par exemple $\tau_{12} \circ \tau_{13}$ et $\tau_{13} \circ \tau_{12}$ :
$\tau_{12} \circ \tau_{13}(1) = \tau_{12}(3) = 3$.
$\tau_{13} \circ \tau_{12}(1) = \tau_{13}(2) = 2$.
Comme les résultats sont différents, $\tau_{12} \circ \tau_{13} \neq \tau_{13} \circ \tau_{12}$.