Le Parallélogramme est une figure géométrique fascinante qui se cache partout dans notre quotidien, de l’architecture à la mécanique. Découvrons ensemble ses propriétés magiques et apprenons à le construire et à l’utiliser dans nos démonstrations mathématiques avec une précision absolue !

Activité de découverte : Le bras articulé de la lampe de bureau

Observe attentivement une lampe de bureau à bras articulé, ou encore la nacelle élévatrice utilisée par les électriciens pour réparer les lampadaires dans la rue. As-tu remarqué comment la « tête » de la lampe, ou le plancher de la nacelle, reste toujours parfaitement horizontal, même lorsque l’on monte ou que l’on descend le mécanisme ?

Ce miracle mécanique n’est pas dû au hasard, mais à l’utilisation d’une structure géométrique très spéciale. Les barres en métal qui soutiennent la lampe forment un quadrilatère (une figure à quatre côtés) qui se déforme. Mais lors de cette déformation, les barres opposées restent toujours, à chaque instant, rigoureusement parallèles entre elles.

En mathématiques, cette figure géométrique géniale s’appelle un parallélogramme. C’est grâce à ses propriétés uniques de parallélisme et d’égalité de longueurs que les ingénieurs peuvent concevoir des mécanismes stables et articulés. Explorons maintenant les secrets mathématiques qui se cachent derrière cette figure incontournable du collège.

Je retiens : Définition et Vocabulaire du Parallélogramme

Avant d’énoncer les propriétés extraordinaires de cette figure, il est impératif de la définir avec une rigueur mathématique stricte et de réviser le vocabulaire des quadrilatères.

La définition officielle

Un parallélogramme est un quadrilatère (une figure géométrique plane fermée possédant exactement quatre côtés) dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Si tu traces un quadrilatère $ABCD$ et que tu peux vérifier que la droite $(AB)$ est parallèle à la droite $(CD)$, et que simultanément la droite $(AD)$ est parallèle à la droite $(BC)$, alors tu as la certitude absolue d’être en présence d’un parallélogramme.

Le vocabulaire essentiel

• Côtés opposés : Ce sont les côtés qui se font face, qui ne se touchent jamais. Dans $ABCD$, $[AB]$ et $[CD]$ sont opposés.
• Côtés consécutifs : Ce sont les côtés qui se suivent et partagent un sommet commun. Par exemple, $[AB]$ et $[BC]$ sont consécutifs, ils se rejoignent au sommet $B$.
• Angles opposés : Ce sont les angles situés aux sommets qui se font face, comme l’angle en $A$ et l’angle en $C$.
• Diagonales : Ce sont les segments qui relient deux sommets opposés. Un quadrilatère possède toujours exactement deux diagonales. Pour le parallélogramme $ABCD$, les diagonales sont les segments $[AC]$ et $[BD]$.

Je retiens : Les Propriétés (Ce qu’il faut savoir faire avec)

Si l’on sait qu’un quadrilatère est un parallélogramme, alors il possède automatiquement une série de « super-pouvoirs » mathématiques que l’on appelle des propriétés. Ces propriétés concernent son centre, ses diagonales, ses côtés et ses angles.

Propriété 1 : Le centre de symétrie (Le cœur de la figure)

Tout parallélogramme possède un centre de symétrie. Ce centre de symétrie est très exactement le point d’intersection de ses deux diagonales. Cela signifie que si l’on fait tourner la figure d’un demi-tour ($180^\circ$) autour de ce point, le parallélogramme se superpose parfaitement à lui-même !

Propriété 2 : Les Diagonales

Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
Si on appelle $O$ le point d’intersection des diagonales $[AC]$ et $[BD]$, cela signifie que la distance $OA$ est rigoureusement égale à la distance $OC$, et que la distance $OB$ est rigoureusement égale à la distance $OD$. Le point $O$ est le milieu exact du segment $[AC]$ et le milieu exact du segment $[BD]$.

Propriété 3 : Les Côtés opposés

Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de la même longueur.
Non seulement les droites qui les portent sont parallèles (c’est la définition), mais les segments eux-mêmes sont égaux. Ainsi, on aura toujours la longueur $AB = CD$ et la longueur $AD = BC$.

Propriété 4 : Les Angles

Les angles d’un parallélogramme obéissent à deux règles très strictes :

• Les angles opposés sont égaux : L’angle en $A$ a la même mesure que l’angle en $C$, et l’angle en $B$ a la même mesure que l’angle en $D$.
• Les angles consécutifs sont supplémentaires : Si tu additionnes la mesure de deux angles qui se suivent (comme l’angle $A$ et l’angle $B$), la somme fera toujours exactement $180^\circ$.

Je retiens : Comment prouver qu’un quadrilatère est un Parallélogramme ?

En géométrie, c’est l’exercice inverse. On te donne un quadrilatère quelconque et tu dois jouer au détective pour prouver que c’est un parallélogramme. Pour cela, tu dois utiliser des propriétés réciproques. Il suffit qu’une seule de ces conditions soit vérifiée pour gagner :

1. Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés parallèles deux à deux (la définition classique).
2. Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu. (C’est la méthode la plus utilisée dans les exercices !).
3. Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de la même longueur.
4. Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés qui sont À LA FOIS parallèles et de même longueur.

Méthodes et Exemples résolus : La construction au compas

Dessiner un parallélogramme $ABCD$ à main levée est facile, mais le tracer avec une précision absolue nécessite un compas. Voici la méthode infaillible en utilisant la propriété des côtés opposés égaux.

Exemple résolu : Tracer le parallélogramme $ABCD$ sachant que $AB = 5$ cm et $AD = 3$ cm.

• Étape 1 : À l’aide d’une règle, je trace un premier segment $[AB]$ mesurant exactement $5$ cm.
• Étape 2 : À partir du point $A$, je trace un segment $[AD]$ mesurant $3$ cm, avec l’inclinaison de mon choix. J’obtiens ainsi trois points de mon parallélogramme : $A$, $B$, et $D$. Il me manque le point $C$.
• Étape 3 : Je sais que le côté opposé à $[AB]$ est $[DC]$, et qu’il doit mesurer la même taille. Je prends mon compas, je pique la pointe sèche sur $A$ et j’ouvre jusqu’à $B$ pour prendre la mesure de $5$ cm.
• Étape 4 : Je garde l’écartement de $5$ cm, je pique la pointe sur $D$, et je trace un grand arc de cercle. Le point $C$ se trouve quelque part sur cet arc.
• Étape 5 : Je dois maintenant utiliser l’autre côté. Je sais que le côté opposé à $[AD]$ est $[BC]$, et qu’il doit mesurer $3$ cm. Je pique le compas sur $A$, j’ouvre jusqu’à $D$ (pour prendre la mesure de $3$ cm).
• Étape 6 : Je pique la pointe sur $B$, et je trace un second arc de cercle qui vient croiser le premier. L’intersection précise de ces deux arcs de cercle est le point $C$ ! Il ne reste plus qu’à relier les points à la règle.

Attention aux pièges fréquents !

De nombreux élèves perdent des points précieux à cause de petits détails d’attention. Voici comment blinder ton esprit contre les erreurs géométriques.

• Le piège du nom : C’est l’erreur numéro 1 ! Quand un énoncé parle du parallélogramme $ABCD$, tu dois absolument faire le tour de la figure avec ton doigt en lisant les lettres dans l’ordre. Le point $A$, puis $B$, puis $C$, puis $D$. Beaucoup d’élèves dessinent un « Z » et écrivent $A$ et $B$ en haut, puis $C$ et $D$ en bas (de gauche à droite). En faisant cela, ils dessinent le parallélogramme $ABDC$, et toute la suite de leur exercice sera fausse !
• Confondre les diagonales qui se coupent en leur milieu avec des diagonales égales : Les diagonales d’un parallélogramme classique ne sont pas de la même longueur. L’une est plus longue que l’autre. La propriété affirme uniquement qu’elles se coupent en plein milieu. Si les diagonales ont la même longueur, alors c’est un rectangle !
• L’oubli des mots « non croisé » : Dans tes démonstrations, si tu utilises la règle des côtés de même longueur, précise toujours que ton quadrilatère est « non croisé ». Un nœud papillon peut avoir des côtés égaux mais ce n’est pas un parallélogramme !

Exercices d’application progressifs

La théorie est acquise, place à la pratique de maître ! Prends un cahier de brouillon, du matériel de géométrie, et rédige tes réponses le plus complètement possible. Les mathématiques s’apprennent en transpirant sur les exercices !

Série 1 : Vocabulaire et reconnaissance

Exercice 1 : Trace un quadrilatère $EFGH$ qui n’est pas croisé. Nomme :
a) Le côté opposé au côté $[EF]$.
b) Les deux diagonales de ce quadrilatère.
c) Un angle consécutif à l’angle en $E$.

Exercice 2 : Vrai ou Faux ? Justifie rapidement ta réponse.
a) Dans le parallélogramme $MNPQ$, les diagonales sont $[MP]$ et $[NQ]$.
b) Un parallélogramme peut avoir des côtés croisés en forme de sablier.
c) Le point d’intersection des diagonales est le centre de symétrie de la figure.

Exercice 3 : Relie le bon début à la bonne fin de propriété :
– « Dans un parallélogramme, les diagonales… »
– « Dans un parallélogramme, les côtés opposés… »
(… sont de même longueur / … se coupent en leur milieu).

Série 2 : Utiliser les propriétés des côtés et des angles

Exercice 4 : $ABCD$ est un parallélogramme. On sait que $AB = 7$ cm et $AD = 4$ cm.
Donne, en justifiant, les longueurs des côtés $[CD]$ et $[BC]$.

Exercice 5 : $RSTU$ est un parallélogramme. On sait que l’angle en $R$ mesure $110^\circ$.
a) Quelle est la mesure de l’angle en $T$ ? Justifie.
b) Quelle est la mesure de l’angle en $S$ ? Justifie par le calcul.

Exercice 6 : Le périmètre d’un parallélogramme $IJKL$ est de $30$ cm. On sait que $IJ = 10$ cm. Calcule la longueur des trois autres côtés en expliquant ton raisonnement.

Série 3 : Diagonales et constructions

Exercice 7 : $MNOP$ est un parallélogramme. Le point $K$ est le point d’intersection de ses diagonales. On sait que la diagonale $[MO]$ mesure $8$ cm et que la diagonale $[NP]$ mesure $12$ cm.
Calcule les longueurs $MK$ et $KP$. Justifie ta réponse.

Exercice 8 : Rédige un programme de construction étape par étape pour tracer le parallélogramme $ABCD$ en sachant que ses diagonales se coupent en un point $O$, avec $OA = 3$ cm et $OB = 4$ cm, et l’angle $\widehat{AOB}$ mesurant $60^\circ$. (Inspire-toi de la propriété des diagonales).

Exercice 9 : Trace un triangle $ABC$ quelconque. Place le point $I$ milieu de $[BC]$. Construis le point $D$, symétrique du point $A$ par rapport au point $I$. Que peux-tu dire du quadrilatère $ABDC$ ? (Garde cette figure, elle servira pour la démonstration plus tard).

Série 4 : L’art de la Démonstration

Rappel : utilise la structure rigoureuse « On sait que… / Or… / Donc… » pour avoir tous les points.

Exercice 10 : On a un quadrilatère $EFGH$. On a mesuré ses diagonales et on a remarqué que leur point d’intersection $Z$ est situé à exactement $5$ cm des sommets $E$ et $G$, et à exactement $7$ cm des sommets $F$ et $H$. Démontre que $EFGH$ est un parallélogramme.

Exercice 11 : $ABCD$ est un quadrilatère non croisé. Tu as mesuré les angles. L’angle $A$ mesure $60^\circ$, l’angle $B$ mesure $120^\circ$, l’angle $C$ mesure $60^\circ$ et l’angle $D$ mesure $120^\circ$. Démontre que $ABCD$ est un parallélogramme en utilisant une propriété réciproque appropriée.

Exercice 12 : Reprends la figure de l’exercice 9. Démontre rigoureusement, en utilisant les mots « milieu » et « symétrique », que le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme parfait.

Série 5 : Problèmes de haut vol

Exercice 13 : Est-il possible de tracer un parallélogramme $ABCD$ tel que $AB = 6$ cm, $BC = 4$ cm, et la diagonale $AC = 11$ cm ? (Indice : pense à l’inégalité triangulaire dans le triangle ABC).

Exercice 14 : On considère un parallélogramme $ABCD$. On place un point $M$ au milieu de $[AB]$ et un point $N$ au milieu de $[CD]$. Démontre que le quadrilatère $AMCN$ est aussi un parallélogramme. (Utilise la règle sur les côtés opposés parallèles et de même longueur).

Exercice 15 : Un architecte trace un parallélogramme sur son plan. Il a tracé la diagonale $[AC]$ qui forme un angle de $30^\circ$ avec le côté $[AB]$, et un angle de $40^\circ$ avec le côté $[AD]$. Quelle est la mesure exacte de l’angle $\widehat{BAD}$ complet ? Quelle est la mesure de l’angle $\widehat{ADC}$ ?

Corrections détaillées étape par étape

Voici la clé de ta réussite : la correction méticuleuse. Ne te contente jamais de comparer le résultat final. C’est l’argumentation qui vaut des points en géométrie ! Lis attentivement chaque explication rédigée pour perfectionner ta propre méthode.

Correction de la Série 1 : Vocabulaire

Correction de l’exercice 1 :
Pour un quadrilatère nommé en tournant dans l’ordre $E \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow H$ :
a) Le côté qui fait face au côté $[EF]$ sans jamais le toucher est le côté situé de l’autre côté du contour. Il s’agit du segment $[GH]$ (ou $[HG]$).
b) Les diagonales relient les sommets qui ne se suivent pas. À partir de $E$, on saute $F$ pour aller vers $G$. La première diagonale est $[EG]$. À partir de $F$, on saute $G$ pour aller vers $H$. La seconde est $[FH]$.
c) Un angle consécutif à l’angle $E$ est un angle situé à un sommet voisin. Les voisins de $E$ sont $F$ et $H$. Donc, les angles consécutifs sont l’angle $\widehat{F}$ et l’angle $\widehat{H}$.

Correction de l’exercice 2 :
a) Vrai. Le nom est $MNPQ$. En alternant les lettres, les sommets opposés sont $M$ relié à $P$, et $N$ relié à $Q$. Les segments $[MP]$ et $[NQ]$ sont donc bien les diagonales.
b) Faux. Par définition absolue, un parallélogramme a des côtés opposés parallèles. Si les côtés se croisaient pour former un sablier, ils ne pourraient physiquement pas être parallèles ! Un parallélogramme est donc toujours un quadrilatère « non croisé ».
c) Vrai. C’est la propriété fondamentale numéro 1. L’intersection des diagonales constitue le centre de symétrie, permettant à la figure de faire un demi-tour parfait sur elle-même.

Correction de l’exercice 3 :
L’association correcte des propriétés mathématiques est la suivante :
– « Dans un parallélogramme, les diagonales… se coupent en leur milieu. »
– « Dans un parallélogramme, les côtés opposés… sont de même longueur (et aussi parallèles). »

Correction de la Série 2 : Utiliser les propriétés

Correction de l’exercice 4 :
C’est un exercice de rédaction classique.
On sait que : Le quadrilatère $ABCD$ est défini comme étant un parallélogramme, avec $AB = 7$ cm.
Or : La propriété du cours stipule que dans un parallélogramme, les côtés opposés ont obligatoirement la même longueur.
Donc : Le côté opposé à $[AB]$ est le côté $[CD]$. Ils sont égaux, ainsi $CD = 7$ cm.
De la même manière, le côté opposé à $[AD]$ est $[BC]$. Puisque $AD = 4$ cm, on déduit logiquement que $BC = 4$ cm.

Correction de l’exercice 5 :
L’exercice teste ta maîtrise des règles sur les angles d’un parallélogramme.
a) On sait que $RSTU$ est un parallélogramme. L’angle $\widehat{T}$ est l’angle opposé à l’angle $\widehat{R}$. Or, dans un parallélogramme, les angles opposés sont toujours égaux. Donc, l’angle $\widehat{T}$ mesure la même chose que l’angle $\widehat{R}$, c’est-à-dire $110^\circ$.
b) On sait que l’angle $\widehat{S}$ et l’angle $\widehat{R}$ sont des angles consécutifs (ils se suivent sur le contour). Or, la propriété nous indique que les angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires (leur somme vaut $180^\circ$). Donc, pour trouver l’angle $\widehat{S}$, il suffit de faire la soustraction : $180^\circ – 110^\circ = 70^\circ$. L’angle $\widehat{S}$ mesure très exactement $70^\circ$.

Correction de l’exercice 6 :
C’est un excellent problème d’arithmétique géométrique.
Étape 1 : On trouve le côté opposé à $[IJ]$. Dans le parallélogramme $IJKL$, le côté opposé à $[IJ]$ est $[KL]$. Puisque les côtés opposés sont égaux, $KL = 10$ cm.
Étape 2 : On calcule la longueur cumulée de ces deux côtés connus : $10 + 10 = 20$ cm.
Étape 3 : Le périmètre total est le tour de la figure, soit $30$ cm. Si j’enlève les $20$ cm déjà calculés, il me reste : $30 – 20 = 10$ cm. Ces $10$ cm restants représentent la somme des deux autres côtés, $[JK]$ et $[IL]$.
Étape 4 : Puisque $[JK]$ et $[IL]$ sont des côtés opposés, ils sont parfaitement égaux. Il suffit de partager les $10$ cm restants en deux parts égales. $10 \div 2 = 5$ cm.
Conclusion : Les longueurs sont $KL = 10$ cm, $JK = 5$ cm, et $IL = 5$ cm.

Correction de la Série 3 : Diagonales

Correction de l’exercice 7 :
L’objectif est d’utiliser la plus célèbre des propriétés du parallélogramme.
On sait que : $MNOP$ est un parallélogramme et que ses diagonales se croisent au point $K$.
Or : La règle absolue stipule que dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
Donc : Le point $K$ est le milieu exact de la diagonale $[MO]$. La longueur $MK$ représente donc la moitié de $MO$. Puisque $MO = 8$ cm, la moitié est de $4$ cm. Ainsi, $MK = 4$ cm.
De même, $K$ est le milieu de la diagonale $[NP]$. La longueur $KP$ est la moitié de $NP$ ($12$ cm). La moitié de $12$ est $6$. Ainsi, $KP = 6$ cm.

Correction de l’exercice 8 :
Voici le programme de construction infaillible pour le faire à partir des diagonales :
1) Commence par placer un point central $O$ sur ta feuille.
2) Avec ta règle, trace une droite passant par $O$. Sur cette droite, place un point $A$ tel que $OA = 3$ cm. Prolonge de l’autre côté de $O$ et place un point $C$ tel que $OC = 3$ cm. (Tu viens de tracer la diagonale entière $[AC]$ de $6$ cm avec $O$ en son milieu).
3) Utilise un rapporteur. Place le centre du rapporteur sur $O$, aligné avec $[OA]$, et fais une marque à $60^\circ$.
4) Trace une seconde droite passant par $O$ et cette marque. Sur cette nouvelle droite, place un point $B$ tel que $OB = 4$ cm, puis de l’autre côté de $O$, un point $D$ tel que $OD = 4$ cm. (Tu as tracé la seconde diagonale $[BD]$ de $8$ cm, parfaitement coupée en son milieu par $O$).
5) Enfin, relie les points à la règle dans l’ordre : $A$ avec $B$, $B$ avec $C$, $C$ avec $D$, et $D$ avec $A$. Tu obtiens un parallélogramme parfait !

Correction de l’exercice 9 :
Nous devons décortiquer les indices laissés par les consignes de construction.
Le point $I$ a été défini comme le « milieu de $[BC]$ ». Les points $B$, $I$ et $C$ sont alignés.
Ensuite, le point $D$ est le symétrique de $A$ par rapport à $I$. La définition même de la symétrie centrale implique que le centre de symétrie (ici le point $I$) est obligatoirement le milieu du segment reliant le point et son image. Donc, le point $I$ est le milieu du segment $[AD]$.
Regardons notre quadrilatère $ABDC$ globalement. Ses diagonales sont les segments $[BC]$ et $[AD]$. Nous venons de prouver que ces deux diagonales se croisent exactement en un même point milieu, qui est le point $I$. Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est, par définition réciproque, un parallélogramme.

Correction de la Série 4 : Démonstrations géométriques

Correction de l’exercice 10 :
C’est l’exercice type pour gagner le maximum de points à une évaluation.
On sait que : Dans le quadrilatère $EFGH$, le point $Z$ vérifie $ZE = 5$ cm et $ZG = 5$ cm. Il vérifie aussi $ZF = 7$ cm et $ZH = 7$ cm. Les points $E, Z, G$ sont alignés sur la diagonale, et $F, Z, H$ sur l’autre. Le fait que $ZE = ZG$ signifie que $Z$ est le milieu du segment $[EG]$. Le fait que $ZF = ZH$ signifie que $Z$ est le milieu du segment $[FH]$.
Or : La propriété mathématique réciproque est formelle : Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme.
Donc : Puisque les diagonales $[EG]$ et $[FH]$ se coupent toutes les deux en leur milieu exact (le point $Z$), je peux affirmer sans l’ombre d’un doute que le quadrilatère $EFGH$ est un parallélogramme.

Correction de l’exercice 11 :
Nous devons démontrer en utilisant une autre propriété, celle des angles.
On sait que : Dans le quadrilatère non croisé $ABCD$, l’angle $\widehat{A} = 60^\circ$ et l’angle opposé $\widehat{C} = 60^\circ$. Ils sont égaux. De même, l’angle $\widehat{B} = 120^\circ$ et l’angle opposé $\widehat{D} = 120^\circ$. Ils sont également égaux.
Or : Une règle géométrique puissante énonce que : si un quadrilatère non croisé possède ses angles opposés égaux deux à deux, alors c’est un parallélogramme.
Donc : Grâce à ces mesures, nous avons prouvé que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme. (Bonus : observe que les angles consécutifs sont bien supplémentaires, $60+120=180$, ce qui confirme notre résultat !).

Correction de l’exercice 12 :
Il s’agit de mettre en forme de démonstration ce que nous avions deviné à l’exercice 9.
On sait que : Par construction, le point $I$ est le milieu du segment $[BC]$. D’autre part, la consigne indique que le point $D$ est le symétrique du point $A$ par rapport à ce même point $I$. Par définition mathématique de la symétrie, cela implique que le point $I$ est le milieu exact du segment $[AD]$. Dans le quadrilatère $ABDC$, les segments $[BC]$ et $[AD]$ représentent les deux diagonales.
Or : Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent précisément en leur milieu (ici le point $I$), alors la propriété géométrique nous garantit que ce quadrilatère est un parallélogramme.
Donc : En s’appuyant sur cette règle, nous démontrons formellement que $ABDC$ est un parallélogramme parfait.

Correction de la Série 5 : Problèmes de haut vol

Correction de l’exercice 13 :
Ce piège redoutable nécessite de couper la figure en deux. Un parallélogramme $ABCD$ est constitué de deux triangles identiques collés ensemble, par exemple le triangle $ABC$.
Si on tente de construire ce triangle $ABC$, on a un côté $AB = 6$ cm, un côté $BC = 4$ cm, et la diagonale devient le troisième côté, $AC = 11$ cm.
Appliquons la règle de l’inégalité triangulaire apprise précédemment au collège : pour qu’un triangle soit constructible, le plus long côté doit toujours être inférieur à la somme des deux autres côtés. Or, ici, la somme des deux petits côtés est $6 + 4 = 10$ cm. C’est plus petit que le grand côté de $11$ cm ! Le compas ne pourra jamais croiser ses arcs de cercle. Le triangle est impossible à fermer.
Conclusion : Puisque le triangle $ABC$ est impossible à construire, il est strictement impossible de tracer ce parallélogramme.

Correction de l’exercice 14 :
C’est un problème d’Olympiades très intéressant pour le collège.
Étape 1 : Puisque $ABCD$ est un parallélogramme, son côté $[AB]$ est parfaitement parallèle à son côté opposé $[CD]$. De plus, la longueur $AB$ est égale à la longueur $CD$.
Étape 2 : Le point $M$ est le milieu de $[AB]$. La longueur du morceau $AM$ est donc la moitié de $AB$. Le point $N$ est le milieu de $[CD]$. Le morceau $CN$ est la moitié de $CD$. Puisque $AB = CD$, leurs moitiés sont parfaitement égales. Donc, $AM = CN$.
Étape 3 : Le morceau $[AM]$ fait partie de la ligne $(AB)$, et le morceau $[CN]$ fait partie de la ligne $(CD)$. Puisque ces grandes lignes sont parallèles, ces petits morceaux sont donc parallèles aussi : $(AM) \parallel (CN)$.
Étape finale : Regardons le nouveau quadrilatère $AMCN$. Nous venons de prouver qu’il possède deux côtés opposés ($[AM]$ et $[CN]$) qui sont À LA FOIS parallèles et de la même longueur. Or, la propriété réciproque indique que si un quadrilatère non croisé possède deux côtés opposés parallèles et égaux, c’est un parallélogramme. Donc, le quadrilatère $AMCN$ est bien un parallélogramme.

Correction de l’exercice 15 :
Ce problème teste ta capacité d’observation. L’architecte a tracé la diagonale, ce qui coupe l’angle total en deux petits morceaux.
– L’angle global complet $\widehat{BAD}$ est simplement la somme des deux petits angles posés côte à côte autour de la diagonale. On additionne : $30^\circ + 40^\circ = 70^\circ$. La mesure complète de l’angle $\widehat{BAD}$ est donc de $70^\circ$.
– La deuxième question nous demande de trouver l’angle $\widehat{ADC}$. Cet angle est le « voisin » immédiat de l’angle $\widehat{BAD}$ sur le bord du parallélogramme. Ce sont des angles consécutifs.
On sait que : Dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme fait $180^\circ$).
Or : On a calculé que $\widehat{BAD} = 70^\circ$.
Donc : Pour trouver le supplément $\widehat{ADC}$, on effectue la soustraction indispensable : $180^\circ – 70^\circ = 110^\circ$. La mesure mathématique exacte de l’angle $\widehat{ADC}$ est de $110^\circ$.