Interprétation Géométrique : le Plan Tangent
Pour une fonction d’une variable, la dérivée en un point donne la pente de la droite tangente, qui est la meilleure approximation affine de la courbe en ce point. Pour une fonction de deux variables $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, la différentielle joue un rôle analogue : elle définit un plan tangent, qui est la meilleure approximation affine de la surface (le graphe de $f$) au voisinage d’un point.
1. De la Droite Tangente au Plan Tangent
Rappelons que la droite tangente au graphe d’une fonction $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ en un point $a$ a pour équation $y = g(a) + g'(a)(x-a)$. Le membre de droite est exactement le développement limité de $g$ à l’ordre 1 en $a$.
On généralise cette idée. Pour une fonction $f: U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ différentiable en $a=(x_0, y_0)$, son développement limité à l’ordre 1 est : $$ f(x_0+h_x, y_0+h_y) = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)h_x + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)h_y + o(\|(h_x, h_y)\|) $$ Le graphe de la partie affine de ce développement, $z = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y-y_0)$, est un plan. C’est le plan tangent.
[Image d’une surface avec son plan tangent en un point]2. Équation du Plan Tangent
Soit $f: U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ une fonction différentiable en un point $a=(x_0, y_0)$.
Le plan tangent au graphe de $f$ au point $P = (x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ est le plan d’équation :
$$ z = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y-y_0) $$
En utilisant le vecteur gradient $\nabla f(a) = (\frac{\partial f}{\partial x}(a), \frac{\partial f}{\partial y}(a))$ et le vecteur position $\vec{X}=(x,y)$, cette équation peut s’écrire de manière plus compacte : $$ z = f(a) + \nabla f(a) \cdot (\vec{X}-a) $$
3. Propriétés du Plan Tangent
- Le plan tangent passe par le point de contact $P(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$.
- Il contient les droites tangentes partielles. La droite tangente dans la direction de $x$ (obtenue en coupant la surface par le plan $y=y_0$) et la droite tangente dans la direction de $y$ (obtenue en coupant par le plan $x=x_0$) sont toutes deux incluses dans le plan tangent.
- Le plan tangent est « dirigé » par les deux vecteurs directeurs non colinéaires : $$ \vec{u} = \left(1, 0, \frac{\partial f}{\partial x}(a)\right) \quad \text{et} \quad \vec{v} = \left(0, 1, \frac{\partial f}{\partial y}(a)\right) $$
- Un vecteur normal (orthogonal) au plan tangent, et donc à la surface au point $P$, est donné par le produit vectoriel $\vec{u} \wedge \vec{v}$ ou plus simplement par : $$ \vec{n} = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(a), \frac{\partial f}{\partial y}(a), -1 \right) $$ Ce vecteur normal est crucial dans de nombreux problèmes de physique et de géométrie.
Exemple de Calcul
Trouver l’équation du plan tangent à la surface d’équation $z = f(x,y) = x^2y + 2y^3$ au point $a=(2,1)$.
- Calculer le point de contact : $$ f(2,1) = (2)^2(1) + 2(1)^3 = 4+2 = 6 $$ Le point est $P(2, 1, 6)$.
- Calculer les dérivées partielles : $$ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2xy $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x^2 + 6y^2 $$
- Évaluer les dérivées partielles au point a=(2,1) : $$ \frac{\partial f}{\partial x}(2,1) = 2(2)(1) = 4 $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y}(2,1) = (2)^2 + 6(1)^2 = 4+6 = 10 $$ Le gradient est $\nabla f(2,1) = (4, 10)$.
- Écrire l’équation du plan tangent : $$ z = f(a) + \frac{\partial f}{\partial x}(a)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(a)(y-y_0) $$ $$ z = 6 + 4(x-2) + 10(y-1) $$
- Simplifier l’équation (forme cartésienne) : $$ z = 6 + 4x – 8 + 10y – 10 $$ $$ 4x + 10y – z – 12 = 0 $$ C’est l’équation cartésienne du plan tangent.