Encyclopédie : Le Produit Scalaire (1Bac)

ENCYCLOPÉDIE MATHÉMATIQUE – VERSION ACADÉMIQUE COMPLÈTE

Le Produit Scalaire

Outil Fondamental de la Géométrie – Niveau 1ère Bac

Sommaire Détaillé

I. Définitions du Produit Scalaire
II. Propriétés Algébriques
III. Norme et Orthogonalité
IV. Théorème d’Al-Kashi (Pythagore Généralisé)
V. Théorème de la Médiane
VI. Applications Analytiques
VII. Applications Physiques
VIII. Synthèse et Erreurs Fréquentes

I. Définitions du Produit Scalaire

Nature du Concept

Le produit scalaire est une opération qui prend deux vecteurs et renvoie un nombre réel (un scalaire). Contrairement à l’addition de vecteurs qui donne un vecteur, ici le résultat n’a pas de direction. C’est une mesure de l’interaction entre deux vecteurs, mêlant leurs longueurs et l’angle qu’ils forment.

1.1 Définition par Projection Orthogonale

Soient $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{AC}$ deux vecteurs du plan.

Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$.

Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ (lire « u scalaire v ») est défini par :

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \overline{AB} \times \overline{AH}$

Plus précisément :

Si $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ ont le même sens : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AH$.
Si $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ ont des sens contraires : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = – AB \times AH$.

1.2 Définition Trigonométrique

Cette définition est la plus utilisée en physique.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$

Si $\vec{u} = \vec{0}$ ou $\vec{v} = \vec{0}$, le produit scalaire est nul.

Interprétation du signe

Si l’angle est aigu ($0 \le \theta < \pi/2$), le cosinus est positif $\rightarrow$ Produit Scalaire $> 0$.
Si l’angle est obtus ($\pi/2 < \theta \le \pi$), le cosinus est négatif $\rightarrow$ Produit Scalaire $< 0$.
Si l’angle est droit ($\theta = \pi/2$), le cosinus est nul $\rightarrow$ Produit Scalaire $= 0$.

1.3 Définition Analytique

Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$, si $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x’, y’)$, alors :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’$

II. Propriété Algébriques

Le produit scalaire se comporte « presque » comme la multiplication des nombres réels.

Symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$.
Bilinéarité :
$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ (Distributivité)
$(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$
Identités Remarquables :
$(\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{v}^2$
$(\vec{u} – \vec{v})^2 = \vec{u}^2 – 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{v}^2$
$(\vec{u} + \vec{v})(\vec{u} – \vec{v}) = \vec{u}^2 – \vec{v}^2$

Note : $\vec{u}^2$ est le carré scalaire, égal à $||\vec{u}||^2$.

III. Norme et Orthogonalité

3.1 Calcul de la Norme

On peut exprimer la norme d’un vecteur (sa longueur) à l’aide du produit scalaire.

$||\vec{u}|| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$

Cela permet de déduire une formule importante pour calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ sans angle ni projection :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( ||\vec{u} + \vec{v}||^2 – ||\vec{u}||^2 – ||\vec{v}||^2 \right)$

3.2 Condition d’Orthogonalité

THÉORÈME CLÉ

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

IV. Théorème d’Al-Kashi (Pythagore Généralisé)

C’est une extension du théorème de Pythagore aux triangles quelconques. Il relie les trois côtés et un angle.

THÉORÈME D’AL-KASHI

Dans un triangle $ABC$, on note $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. On a :

$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos(\widehat{A})$

De même :
$b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos(\widehat{B})$
$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(\widehat{C})$

Cas particulier

Si le triangle est rectangle en A, alors $\cos(\widehat{A}) = \cos(90^\circ) = 0$. La formule devient $a^2 = b^2 + c^2$, c’est exactement Pythagore !

V. Théorème de la Médiane

Ce théorème permet de relier les côtés d’un triangle à la longueur de sa médiane. Il est très utile pour calculer des distances dans des configurations géométriques.

Soit $ABC$ un triangle et $I$ le milieu du segment $[BC]$. On a :

$AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \frac{BC^2}{2}$

VI. Applications Analytiques

6.1 Équation Cartésienne d’une Droite

Une droite $(D)$ passant par un point $A$ et de vecteur normal $\vec{n}(a, b)$ est l’ensemble des points $M(x, y)$ tels que $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$.

Cela conduit à une équation de la forme :

$ax + by + c = 0$

6.2 Équation d’un Cercle

Le cercle de diamètre $[AB]$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ (propriété de l’angle droit).

$(x – x_A)(x – x_B) + (y – y_A)(y – y_B) = 0$

VII. Applications Physiques

Le produit scalaire est omniprésent en physique, notamment pour calculer le Travail d’une force.

Travail Mécanique

Le travail $W$ d’une force constante $\vec{F}$ lors d’un déplacement rectiligne $\vec{AB}$ est donné par :

$W = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \times AB \times \cos(\alpha)$

Si $0 \le \alpha < 90^\circ$ (Travail moteur) : La force aide le mouvement.
Si $\alpha = 90^\circ$ (Travail nul) : La force ne travaille pas.
Si $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$ (Travail résistant) : La force freine le mouvement.

VIII. Synthèse et Erreurs Fréquentes

ATTENTION AUX PIÈGES

⛔ Le produit scalaire est un NOMBRE, pas un vecteur. Ne jamais mettre de flèche sur le résultat.
⛔ Ne pas confondre $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ avec $AB \times AC$. Le cosinus est indispensable (sauf si vecteurs colinéaires).
⛔ Pour la définition analytique ($xx’ + yy’$), le repère doit impérativement être ORTHONORMÉ.
⛔ Dans Al-Kashi, ne pas oublier le signe moins devant $2bc \cos(\widehat{A})$.