Le Théorème de Flux-Divergence (Gauss-Ostrogradsky)

Le théorème de la divergence, plus connu sous le nom de théorème de Gauss en physique, est le troisième grand théorème de l’analyse vectorielle. Il établit une relation fondamentale entre le flux d’un champ de vecteurs à travers une surface fermée et l’intégrale de la divergence de ce champ sur le volume délimité par cette surface.

C’est la généralisation tridimensionnelle de la forme « flux » du théorème de Green-Riemann. Son interprétation physique est très puissante : le flux total d’une quantité sortant d’un volume est égal à la somme de toutes les « sources » de cette quantité à l’intérieur du volume.

1. Énoncé du Théorème

[Image d’un volume avec le flux sortant de sa surface]

2. Interprétation et Conséquences

• Sources et Puits : Le théorème donne un sens global à la divergence. La divergence, $\text{div } \vec{F}$, mesure la « densité de source » locale. En l’intégrant sur tout le volume, on obtient la « source totale » à l’intérieur du volume, qui doit être égale au débit total (le flux) sortant par la frontière.
• Champs Solénoïdaux : Si un champ est à divergence nulle ($\text{div } \vec{F}=0$) partout, alors le théorème de Gauss implique que son flux à travers n’importe quelle surface fermée est nul : $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_E 0 \,dV = 0$. Cela signifie que pour un fluide incompressible, la quantité de fluide qui entre dans une région fermée est toujours égale à la quantité qui en sort.
• Loi de Gauss en Électromagnétisme : C’est l’application la plus célèbre. L’une des équations de Maxwell est $\text{div } \vec{E} = \rho / \epsilon_0$, où $\rho$ est la densité de charge électrique. En intégrant cette équation sur un volume $V$ et en appliquant le théorème de la divergence, on obtient : $$ \iint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \iiint_V (\text{div } \vec{E}) \,dV = \iiint_V \frac{\rho}{\epsilon_0} \,dV = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0} $$ où $Q_{int}$ est la charge totale à l’intérieur de la surface. Le flux du champ électrique à travers une surface fermée est proportionnel à la charge qu’elle contient.

Exemple de Calcul

Calculer le flux du champ $\vec{F}(x,y,z) = (x^3, y^3, z^3)$ à travers la sphère $S$ de rayon $R$ centrée à l’origine, orientée vers l’extérieur.

Le calcul direct du flux par paramétrisation de la sphère est très long. Utilisons le théorème de la divergence.

1. Calculer la divergence : $$ \text{div } \vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3) + \frac{\partial}{\partial y}(y^3) + \frac{\partial}{\partial z}(z^3) = 3x^2+3y^2+3z^2 = 3(x^2+y^2+z^2) $$
2. Appliquer le théorème : Le flux est égal à l’intégrale de la divergence sur la boule $B$ de rayon $R$. $$ \text{Flux} = \iiint_B 3(x^2+y^2+z^2) \,dV $$
3. Calculer l’intégrale triple : Le domaine (boule) et la fonction ($3\rho^2$) sont à symétrie sphérique. On passe en coordonnées sphériques.
   • Domaine $B^*$ : $0 \le \rho \le R, \quad 0 \le \phi \le \pi, \quad 0 \le \theta \le 2\pi$.
   • Fonction : $3(x^2+y^2+z^2) = 3\rho^2$.
   • Élément de volume : $dV = \rho^2\sin\phi \,d\rho\,d\phi\,d\theta$.
   $$ \text{Flux} = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^R (3\rho^2) (\rho^2\sin\phi) \,d\rho \,d\phi \,d\theta $$ L’intégrale est séparable : $$ = 3 \left( \int_0^R \rho^4 \,d\rho \right) \left( \int_0^\pi \sin\phi \,d\phi \right) \left( \int_0^{2\pi} 1 \,d\theta \right) $$ $$ = 3 \left[ \frac{\rho^5}{5} \right]_0^R \cdot [-\cos\phi]_0^\pi \cdot [\theta]_0^{2\pi} = 3 \left(\frac{R^5}{5}\right) \cdot (2) \cdot (2\pi) = \frac{12\pi R^5}{5} $$