Le Théorème de Fubini en 3D
Le théorème de Fubini s’étend de manière naturelle aux intégrales triples sur des domaines de l’espace $\mathbb{R}^3$. Le principe reste le même : transformer une intégrale triple en une succession de trois intégrales simples. L’interprétation géométrique consiste à calculer un « hypervolume » en sommant des volumes de tranches infinitésimales. Si la fonction $f(x,y,z)=1$, l’intégrale triple représente le volume du domaine d’intégration.
1. Le Cas d’un Pavé Rectangulaire
Si $f$ est une fonction continue sur un pavé rectangulaire (ou boîte) $B = [a,b] \times [c,d] \times [e,f]$, alors on peut calculer l’intégrale triple en itérant les intégrations simples dans n’importe quel ordre. Il y a $3! = 6$ ordres possibles. $$ \iiint_B f(x,y,z) \,dV = \int_a^b \left( \int_c^d \left( \int_e^f f(x,y,z) \,dz \right) \,dy \right) \,dx $$ Un autre ordre possible est, par exemple : $$ \iiint_B f(x,y,z) \,dV = \int_e^f \left( \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y,z) \,dx \right) \,dy \right) \,dz $$
2. Généralisation aux Domaines Généraux
Pour intégrer sur un domaine général $E \subset \mathbb{R}^3$, la stratégie la plus courante est de le projeter sur l’un des plans de coordonnées (par exemple, le plan $(x,y)$) et de décrire le domaine comme étant « pris en sandwich » entre deux surfaces.
Un domaine $E$ est dit simple s’il peut être décrit par : $$ E = \{ (x,y,z) \mid (x,y) \in D, \quad u_1(x,y) \le z \le u_2(x,y) \} $$ où $D$ est la projection de $E$ sur le plan $(x,y)$, et $z=u_1(x,y)$ et $z=u_2(x,y)$ sont les surfaces qui délimitent le domaine en bas et en haut.
L’intégrale triple se calcule en intégrant d’abord par rapport à $z$ de la surface inférieure à la surface supérieure. Le résultat est une intégrale double sur la projection $D$, que l’on calcule ensuite. $$ \iiint_E f(x,y,z) \,dV = \iint_D \left[ \int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z) \,dz \right] \,dA $$
Exemple : Volume d’un Tétraèdre
Calculer le volume du tétraèdre $E$ délimité par les plans $x=0$, $y=0$, $z=0$ et le plan $x+y+z=1$.
- Fonction à intégrer : Pour calculer le volume, on intègre la fonction $f(x,y,z)=1$.
- Description du domaine :
- Le domaine est limité en bas par le plan $z=0$ et en haut par le plan $z=1-x-y$. Donc $0 \le z \le 1-x-y$.
- La projection $D$ de ce domaine sur le plan $(x,y)$ est le triangle délimité par $x=0$, $y=0$ et la trace du plan $x+y+z=1$ dans $z=0$, soit la droite $x+y=1$.
- Ce triangle $D$ peut être décrit comme un domaine de type 1 : $0 \le x \le 1$ et $0 \le y \le 1-x$.
- Mise en place de l’intégrale : $$ V = \iiint_E 1 \,dV = \int_0^1 \left( \int_0^{1-x} \left( \int_0^{1-x-y} 1 \,dz \right) \,dy \right) \,dx $$
- Calcul de l’intégrale :
- Intégrale intérieure (par rapport à $z$) : $\int_0^{1-x-y} 1 \,dz = [z]_0^{1-x-y} = 1-x-y$.
- Intégrale du milieu (par rapport à $y$) : $\int_0^{1-x} (1-x-y) \,dy = \left[ (1-x)y – \frac{y^2}{2} \right]_0^{1-x} = (1-x)(1-x) – \frac{(1-x)^2}{2} = \frac{(1-x)^2}{2}$.
- Intégrale extérieure (par rapport à $x$) : $\int_0^1 \frac{(1-x)^2}{2} \,dx = \frac{1}{2} \left[ -\frac{(1-x)^3}{3} \right]_0^1 = -\frac{1}{6} (0^3 – 1^3) = \frac{1}{6}$.
Le volume du tétraèdre est de 1/6.