Le Théorème de Green-Ostrogradsky (Flux-Divergence)
Le théorème de Green-Ostrogradsky, plus connu sous les noms de théorème de flux-divergence ou théorème de Gauss, est un pilier de l’analyse vectorielle en trois dimensions. Il établit une égalité fondamentale entre une intégrale de surface sur une frontière fermée et une intégrale de volume sur la région qu’elle délimite.
Son essence physique est l’un des principes de conservation les plus intuitifs : ce qui sort d’un volume est égal à ce qui est produit à l’intérieur de ce volume.
1. Énoncé du Théorème
Soit $E$ un solide (une région compacte simple) de $\mathbb{R}^3$, dont la frontière $S = \partial E$ est une surface lisse par morceaux.
On oriente la surface $S$ avec le champ de vecteurs normaux unitaires $\vec{n}$ qui pointe vers l’extérieur de $E$.
Soit $\vec{F}$ un champ de vecteurs de classe C¹ défini sur un ouvert contenant $E$.
Alors, le flux du champ de vecteurs $\vec{F}$ à travers la surface $S$ est égal à l’intégrale de la divergence de $\vec{F}$ sur le volume $E$ :
$$ \underbrace{\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}}_{\text{Flux sortant}} = \underbrace{\iiint_E (\text{div } \vec{F}) \,dV}_{\text{Somme des sources internes}} $$
2. Interprétation Physique
Ce théorème est une loi de conservation locale. Imaginons que $\vec{F}$ représente le champ de vitesse d’un fluide et que $\text{div } \vec{F}$ représente la « densité de source » du fluide (par exemple, un robinet qui ajoute du fluide).
- L’intégrale de droite, $\iiint_E (\text{div } \vec{F}) \,dV$, calcule le débit total de fluide créé par toutes les sources à l’intérieur du volume $E$.
- L’intégrale de gauche, $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$, calcule le débit total de fluide qui s’échappe à travers la frontière $S$ du volume.
Le théorème affirme que ces deux quantités sont égales, ce qui est une expression de la conservation de la matière.
3. Applications
Simplification du Calcul de Flux
La principale application pratique du théorème est de transformer un calcul de flux, qui peut être difficile (nécessitant de paramétrer la surface, de calculer des vecteurs normaux, etc.), en un calcul d’intégrale de volume, qui est souvent plus simple, surtout si la divergence du champ est une fonction simple (comme une constante).
Exemple : Calculer le flux du champ $\vec{F}(x,y,z) = (2x + \sin(yz), y^2 – e^z, z^2 + x^2y)$ à travers la surface du cube unité $[0,1]^3$.
Le calcul direct nécessiterait de calculer le flux à travers les 6 faces du cube. C’est très long. Utilisons le théorème de la divergence.
- Calculer la divergence : $$ \text{div } \vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(2x + \sin(yz)) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2 – e^z) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2 + x^2y) $$ $$ = 2 + 2y + 2z $$
- Appliquer le théorème : Le flux est égal à l’intégrale de la divergence sur le volume du cube $E=[0,1]^3$. $$ \text{Flux} = \iiint_E (2 + 2y + 2z) \,dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (2+2y+2z) \,dx \,dy \,dz $$
- Calculer l’intégrale triple : $$ = \int_0^1 \int_0^1 [2x+2yx+2zx]_0^1 \,dy \,dz = \int_0^1 \int_0^1 (2+2y+2z) \,dy \,dz $$ $$ = \int_0^1 [2y+y^2+2zy]_0^1 \,dz = \int_0^1 (2+1+2z) \,dz = \int_0^1 (3+2z) \,dz $$ $$ = [3z+z^2]_0^1 = 3+1 = 4 $$
Le flux total sortant est de 4.
Théorème de Gauss en Électrostatique
C’est l’application la plus célèbre. La loi de Gauss locale (une des équations de Maxwell) dit que $\text{div } \vec{E} = \rho / \epsilon_0$. En appliquant le théorème de Green-Ostrogradsky, on obtient la forme intégrale, beaucoup plus utilisée pour les calculs de champ en cas de symétrie : $$ \iint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0} $$ Le flux du champ électrique à travers une surface fermée ne dépend que de la charge totale qu’elle contient, indépendamment de la forme de la surface.