Le théorème de Riesz

Le Théorème de Riesz

Le théorème de Riesz est un résultat fondamental qui marque une rupture nette entre les espaces vectoriels normés de dimension finie et ceux de dimension infinie. Il stipule que la propriété « compact = fermé et borné » (théorème de Heine-Borel) est en fait une caractéristique exclusive de la dimension finie.

Conséquence Fondamentale

Dans un espace vectoriel normé de dimension infinie, la boule unité fermée, bien qu’elle soit toujours une partie fermée et bornée, n’est jamais compacte.

Cela signifie que le théorème de Heine-Borel (Compact $\iff$ Fermé et Borné) est faux en dimension infinie. L’implication « Compact $\implies$ Fermé et Borné » reste vraie, mais la réciproque « Fermé et Borné $\implies$ Compact » est fausse.

Exemple en Dimension Infinie

Considérons l’espace $E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})$ des fonctions continues sur $[0, 1]$, muni de la norme $\| \cdot \|_\infty$. C’est un espace de dimension infinie.

La boule unité fermée $\bar{B}(0, 1)$ est l’ensemble des fonctions continues $f$ telles que $\|f\|_\infty \le 1$. D’après le théorème de Riesz, cette boule n’est pas compacte.

Pour le prouver directement avec les suites (compacité séquentielle), on peut considérer la suite de fonctions $(f_n(t) = t^n)_{n \in \mathbb{N}}$.

• Chaque fonction $f_n$ est dans la boule unité, car $\|f_n\|_\infty = 1$.
• Cette suite converge simplement vers une fonction $f$ discontinue (qui vaut 0 sur $[0, 1[$ et 1 en $t=1$).
• On peut montrer qu’il est impossible d’extraire de $(f_n)$ une sous-suite qui converge uniformément (c’est-à-dire pour la norme $\| \cdot \|_\infty$). La suite n’a donc pas de valeur d’adhérence dans l’espace.
• La boule unité n’est donc pas séquentiellement compacte, et donc pas compacte.