Formulation Générale du Théorème de Stokes

Les théorèmes de Green-Riemann, de Stokes (classique) et de Gauss-Ostrogradsky sont des piliers de l’analyse vectorielle. Ils partagent tous une structure commune : ils relient l’intégrale d’une « dérivée » d’un champ sur un domaine à l’intégrale du champ lui-même sur la frontière de ce domaine. Cette structure n’est pas une coïncidence. Ces trois théorèmes sont en réalité des cas particuliers d’un seul et unique théorème beaucoup plus général, connu sous le nom de théorème de Stokes généralisé, qui s’exprime dans le langage des formes différentielles.

1. Le Langage des Formes Différentielles

Les formes différentielles sont les objets naturels à intégrer sur des courbes, des surfaces et des volumes.

• Une 0-forme est simplement une fonction scalaire $f$. On l’intègre sur des « domaines de dimension 0 », c’est-à-dire des points.
• Une 1-forme est une expression de la forme $\omega = P\,dx + Q\,dy + R\,dz$. C’est l’objet que l’on intègre le long d’une courbe (intégrale curviligne).
• Une 2-forme est une expression de la forme $\eta = A\,dy\wedge dz + B\,dz\wedge dx + C\,dx\wedge dy$. C’est l’objet que l’on intègre sur une surface (flux).
• Une 3-forme est une expression de la forme $\zeta = g\,dx\wedge dy\wedge dz$. C’est l’objet que l’on intègre sur un volume.

2. La Dérivée Extérieure

Il existe un opérateur unique, la dérivée extérieure notée $d$, qui généralise les opérateurs gradient, rotationnel et divergence.

• Appliquée à une 0-forme $f$, $d$ donne une 1-forme (le gradient) : $df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz$.
• Appliquée à une 1-forme $\omega = P\,dx + Q\,dy + R\,dz$, $d$ donne une 2-forme (le rotationnel) : $d\omega = (\frac{\partial R}{\partial y} – \frac{\partial Q}{\partial z})dy\wedge dz + \dots$.
• Appliquée à une 2-forme $\eta = A\,dy\wedge dz + \dots$, $d$ donne une 3-forme (la divergence) : $d\eta = (\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z})dx\wedge dy\wedge dz$.

3. Le Théorème de Stokes Généralisé

Avec ces outils, on peut énoncer le théorème dans toute sa splendeur et sa simplicité.

4. Retrouver les Théorèmes Classiques

Tous les théorèmes que nous avons vus sont des déclinaisons de cette unique formule.

Théorème Fondamental de l’Analyse

• $M$ est un intervalle $[a,b]$ (dimension 1).
• $\partial M$ est l’ensemble de ses deux points, $\{b\} – \{a\}$.
• $\omega$ est une 0-forme (une fonction $f$).
• $d\omega$ est la 1-forme $f'(x)dx$.
• Le théorème dit : $\int_a^b f'(x)dx = f(b) – f(a)$.

Formule de Green-Riemann

• $M$ est un domaine plan $D$ (dimension 2).
• $\partial M$ est sa courbe frontière $\mathcal{C}$.
• $\omega$ est une 1-forme $P\,dx+Q\,dy$.
• $d\omega$ est la 2-forme $(\frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y})dx\wedge dy$.
• Le théorème dit : $\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y})dA = \oint_\mathcal{C} P\,dx+Q\,dy$.

Théorème de Stokes Classique

• $M$ est une surface $S$ dans $\mathbb{R}^3$ (dimension 2).
• $\partial M$ est sa courbe frontière $\mathcal{C}$.
• $\omega$ est une 1-forme $\vec{F} \cdot d\vec{r}$.
• $d\omega$ est la 2-forme $(\text{rot } \vec{F}) \cdot d\vec{S}$.
• Le théorème dit : $\iint_S (\text{rot } \vec{F}) \cdot d\vec{S} = \oint_\mathcal{C} \vec{F} \cdot d\vec{r}$.

Théorème de Gauss-Ostrogradsky

• $M$ est un volume $E$ dans $\mathbb{R}^3$ (dimension 3).
• $\partial M$ est sa surface frontière $S$.
• $\omega$ est une 2-forme $\vec{F} \cdot d\vec{S}$.
• $d\omega$ est la 3-forme $(\text{div } \vec{F}) dV$.
• Le théorème dit : $\iiint_E (\text{div } \vec{F}) dV = \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$.