Le Théorème de Tychonoff
Le théorème de Tychonoff est l’un des résultats les plus importants et les plus profonds de la topologie générale. Il affirme que la compacité est une propriété stable par l’opération de produit topologique, et ce, même pour un produit infini d’espaces. Ce théorème a des conséquences majeures dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment en analyse fonctionnelle.
Le produit d’une famille quelconque (finie ou infinie) d’espaces topologiques compacts est compact pour la topologie produit.
Formellement, si $(X_i, \mathcal{T}_i)_{i \in I}$ est une famille d’espaces compacts, alors l’espace produit $X = \prod_{i \in I} X_i$, muni de la topologie produit, est compact.
Remarques Fondamentales
- Portée du théorème : Le résultat est particulièrement spectaculaire dans le cas d’un produit infini. Pour un produit fini, la démonstration est beaucoup plus simple et ne nécessite pas d’outils avancés.
- Axiome du Choix : La démonstration du théorème de Tychonoff dans le cas général est non triviale et repose de manière essentielle sur l’Axiome du Choix (ou une de ses formulations équivalentes, comme le lemme de Zorn). En fait, le théorème de Tychonoff est lui-même équivalent à l’Axiome du Choix.
- Réciproque : La réciproque est également vraie. Si un produit d’espaces non vides est compact, alors chacun des espaces facteurs est compact.
Exemples et Applications
- Le carré et le cube unité : L’intervalle $[0, 1]$ est compact. Par le théorème de Tychonoff (cas fini), le carré $[0, 1] \times [0, 1]$ est compact dans $\mathbb{R}^2$, le cube $[0, 1]^3$ est compact dans $\mathbb{R}^3$, et plus généralement, l’hypercube $[0, 1]^n$ est compact dans $\mathbb{R}^n$.
- Le tore : Le cercle $\mathbb{S}^1$ est une partie compacte de $\mathbb{R}^2$. Le tore $\mathbb{T}^2 = \mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1$ est donc compact.
- Le cube de Hilbert : C’est l’exemple le plus célèbre pour un produit infini. L’espace $[0, 1]^{\mathbb{N}} = \prod_{n=1}^{\infty} [0, 1]$ est l’ensemble des suites à valeurs dans $[0, 1]$. Le théorème de Tychonoff affirme que cet espace est compact, un résultat central en analyse fonctionnelle.