Le Théorème d’Inversion Locale
Le théorème d’inversion locale répond à une question fondamentale : à quelle condition une fonction $f: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^p$ est-elle « inversible » au voisinage d’un point ? Pour les fonctions d’une variable, la condition est simple : $f$ est localement inversible autour de $a$ si sa dérivée $f'(a)$ est non nulle. Le théorème généralise cette idée en remplaçant la dérivée par la différentielle (ou sa matrice, la jacobienne).
1. L’Idée : Inverser l’Approximation Linéaire
Au voisinage d’un point $a$, une fonction différentiable $f$ se comporte comme son approximation affine : $$ f(x) \approx f(a) + df_a(x-a) $$ Inverser la fonction $f$ revient à peu près à inverser cette application affine. Cela est possible si et seulement si l’application linéaire $df_a$ est inversible. Pour une application linéaire entre espaces de même dimension, cela équivaut à dire que le déterminant de sa matrice jacobienne est non nul.
2. Énoncé du Théorème
Soit $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^p$ une fonction de classe C¹ sur un ouvert $U$. Soit $a \in U$.
Si la différentielle $df_a$ est une application linéaire inversible (ce qui est équivalent à dire que le déterminant de sa matrice jacobienne est non nul, $\det(J_f(a)) \neq 0$), alors :
- Il existe un voisinage ouvert $V$ de $a$ et un voisinage ouvert $W$ de $f(a)$ tels que $f$ soit une bijection de $V$ sur $W$.
- L’application réciproque $f^{-1}: W \to V$ est elle-même de classe C¹.
En résumé, si le « Jacobien » est non nul, la fonction se comporte localement comme un « changement de coordonnées » régulier. On parle alors de difféomorphisme local.
3. Dérivée de la Fonction Réciproque
Le théorème va plus loin et nous donne la différentielle (et donc la jacobienne) de la fonction réciproque. La relation est une généralisation directe de la formule $(f^{-1})'(y) = 1/f'(x)$.
Sous les hypothèses du théorème, pour tout $y=f(x)$ dans $W$, la différentielle de la fonction réciproque $f^{-1}$ en $y$ est l’inverse de la différentielle de $f$ en $x$ : $$ d(f^{-1})_y = (df_x)^{-1} $$ En termes de matrices jacobiennes, cela se traduit par l’inversion de la matrice : $$ J_{f^{-1}}(y) = [J_f(x)]^{-1} $$
Exemple : Coordonnées Polaires
Considérons le passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes, défini par la fonction $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ : $$ f(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta) = (x,y) $$
- Matrice Jacobienne de $f$ : $$ J_f(r, \theta) = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} $$
- Condition d’inversion : On calcule le déterminant (le Jacobien) : $$ \det(J_f(r,\theta)) = (\cos\theta)(r\cos\theta) – (-r\sin\theta)(\sin\theta) = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r $$ Le théorème d’inversion locale s’applique tant que $\det(J_f) = r \neq 0$. Cela signifie que l’on peut localement inverser la transformation (exprimer $r, \theta$ en fonction de $x,y$) partout sauf à l’origine.
- Jacobienne de l’inverse : On calcule l’inverse de la matrice jacobienne : $$ J_{f^{-1}}(x,y) = [J_f(r,\theta)]^{-1} = \frac{1}{r} \begin{pmatrix} r\cos\theta & r\sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\frac{\sin\theta}{r} & \frac{\cos\theta}{r} \end{pmatrix} $$ En remplaçant $\cos\theta=x/r$ et $\sin\theta=y/r$ avec $r=\sqrt{x^2+y^2}$, on retrouve la jacobienne de la transformation inverse $f^{-1}(x,y) = (\sqrt{x^2+y^2}, \arctan(y/x))$.