Le Théorème du Point Fixe de Banach
Le théorème du point fixe de Banach, aussi connu sous le nom de théorème de l’application contractante, est un outil d’une puissance exceptionnelle en analyse. Il garantit, sous certaines conditions, l’existence et l’unicité d’un point fixe pour une fonction (un point $x$ tel que $f(x) = x$). De plus, il fournit une méthode constructive pour trouver ce point.
Soit $(X, d)$ un espace métrique. Une application $f: X \to X$ est dite contractante s’il existe une constante $k \in [0, 1[$ telle que pour tous points $x, y$ de $X$ : $$d(f(x), f(y)) \le k \cdot d(x, y)$$ La constante $k$ est appelée le rapport de contraction. Une application contractante « rapproche » les points.
Soit $(X, d)$ un espace métrique complet et non vide. Soit $f: X \to X$ une application contractante.
Alors $f$ admet un unique point fixe $l \in X$.
De plus, pour n’importe quel point de départ $x_0 \in X$, la suite $(x_n)$ définie par la relation de récurrence $x_{n+1} = f(x_n)$ converge vers ce point fixe $l$.
Les Hypothèses Clés
- La complétude de l’espace est essentielle. C’est elle qui garantit que la suite construite, qui sera de Cauchy, converge bien vers un point de l’espace.
- Le caractère contractant de la fonction est crucial. Il faut que le rapport $k$ soit strictement inférieur à 1. Une fonction qui vérifie $d(f(x), f(y)) \le d(x, y)$ (avec $k=1$) n’admet pas nécessairement de point fixe.
Idée de la Démonstration
- On choisit un point $x_0$ arbitraire et on construit la suite $x_{n+1} = f(x_n)$.
- Grâce au caractère contractant de $f$, on montre que la suite $(x_n)$ est une suite de Cauchy.
- Puisque l’espace $X$ est complet, la suite converge vers une limite $l \in X$.
- On utilise la continuité de $f$ (toute application contractante est continue) pour passer à la limite dans la relation $x_{n+1} = f(x_n)$, ce qui donne $l = f(l)$. L’existence est prouvée.
- L’unicité se montre par l’absurde, en supposant l’existence de deux points fixes distincts et en utilisant la contraction pour aboutir à une contradiction.
Application à la Résolution d’Équations
Ce théorème est à la base de nombreuses méthodes numériques. Pour résoudre une équation de la forme $g(x) = 0$, on peut chercher à la réécrire sous la forme $f(x) = x$. Si l’on trouve une telle fonction $f$ qui est contractante sur un espace complet, on est assuré qu’une solution existe, qu’elle est unique, et que l’on peut l’approcher par itérations successives.