Découvrons ensemble le triangle, la figure géométrique la plus fondamentale que vous rencontrerez tout au long de votre scolarité.
Cette leçon vous donnera les outils essentiels pour définir, construire et analyser n’importe quel triangle en toute confiance.
Définition et vocabulaire du triangle
Un triangle est un polygone qui possède exactement trois côtés, trois sommets et trois angles.
Pour nommer un triangle, on utilise généralement les lettres de ses trois sommets. Par exemple, si les sommets sont $A$, $B$ et $C$, on appelle cette figure le triangle $ABC$.
Il est important de maîtriser le vocabulaire précis :
- Les sommets sont les points $A$, $B$ et $C$.
- Les côtés sont les segments reliant ces sommets : le segment $[AB]$, le segment $[BC]$ et le segment $[AC]$.
- Les angles sont formés par deux côtés se rencontrant en un sommet (angle $\widehat{A}$, angle $\widehat{B}$, angle $\widehat{C}$).
Le côté opposé au sommet $A$ est toujours le côté $[BC]$. Cette notion d’opposition est cruciale pour la suite de votre apprentissage en géométrie.
L’inégalité triangulaire : une règle d’or
Peut-on construire un triangle avec trois bâtons de n’importe quelle longueur ? La réponse est non. Il existe une condition stricte appelée inégalité triangulaire.
La propriété : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est toujours inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Pour un triangle $ABC$, cela signifie trois choses simultanément :
- $AB < AC + BC$
- $AC < AB + BC$
- $BC < AB + AC$
En pratique, il suffit de vérifier une seule condition : le plus grand côté doit être plus petit que la somme des deux autres.
Exemple concret :
Peut-on construire un triangle avec des côtés de 3 cm, 4 cm et 8 cm ?
Le plus grand côté est 8. La somme des deux autres est $3 + 4 = 7$.
Comme $8 > 7$, la condition n’est pas respectée. Ce triangle est impossible à construire.
Autre exemple :
Côtés de 5 cm, 6 cm et 7 cm.
Le plus grand est 7. Somme des autres : $5 + 6 = 11$.
Comme $7 < 11$, le triangle est possible.
Si la somme de deux côtés est égale au troisième (par exemple $3 + 4 = 7$), alors les trois points sont alignés. On obtient un « triangle aplati », qui n’est pas un vrai triangle.
Méthode de construction au compas
Pour construire un triangle dont on connaît les trois longueurs de côtés, la règle et le compas sont indispensables.
Problème : Construire un triangle $ABC$ tel que $AB = 5$ cm, $BC = 4$ cm et $AC = 3$ cm.
Étapes de construction :
- Tracer d’abord le plus long côté (pour plus de stabilité). Ici, on trace le segment $[AB]$ de longueur 5 cm.
- Ouvrir le compas à l’écartement de 3 cm (longueur $AC$). Pointer sur $A$ et tracer un arc de cercle.
- Ouvrir le compas à l’écartement de 4 cm (longueur $BC$). Pointer sur $B$ et tracer un deuxième arc de cercle.
- Les deux arcs se coupent en un point : c’est le sommet $C$.
- Relier $A$ à $C$ et $B$ à $C$ pour former le triangle.
Cette méthode garantit que les distances sont parfaitement respectées grâce aux propriétés du cercle.
Exercices d’application rapide
Exercice 1 : Nommez les trois côtés du triangle $LMN$ et identifiez le côté opposé au sommet $M$.
Exercice 2 : Sans tracer, dites si les triangles suivants sont constructibles :
a) Côtés : 2 cm, 3 cm, 6 cm.
b) Côtés : 5 cm, 5 cm, 5 cm.
c) Côtés : 7 cm, 8 cm, 10 cm.
Exercice 3 : Un triangle $DEF$ a pour côtés $DE = 4$ cm et $EF = 6$ cm. Quelle peut être une valeur entière possible pour le troisième côté $DF$ ? (Donnez une seule possibilité).
Corrections détaillées
Correction Exercice 1 :
Les côtés sont les segments $[LM]$, $[MN]$ et $[LN]$.
Le côté opposé au sommet $M$ est celui qui ne touche pas $M$, c’est-à-dire le segment $[LN]$.
Correction Exercice 2 :
a) Plus grand côté : 6. Somme des autres : $2 + 3 = 5$. Comme $6 > 5$, ce triangle n’est pas constructible.
b) Plus grand côté : 5. Somme des autres : $5 + 5 = 10$. Comme $5 < 10$, ce triangle est constructible (c’est un triangle équilatéral).
c) Plus grand côté : 10. Somme des autres : $7 + 8 = 15$. Comme $10 < 15$, ce triangle est constructible.
Correction Exercice 3 :
La longueur $DF$ doit respecter l’inégalité triangulaire.
Elle doit être plus petite que la somme des deux autres : $DF < 4 + 6$, donc $DF < 10$.
Elle doit aussi être plus grande que la différence des deux autres (pour ne pas être trop courte) : $DF > 6 – 4$, donc $DF > 2$.
Les valeurs entières possibles sont donc : 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 cm. Vous pouviez choisir n’importe laquelle de ces valeurs.
Vous maîtrisez maintenant les bases essentielles sur le triangle. Entraînez-vous à tracer des figures précises pour consolider ces acquis !