Définition du Vecteur Gradient
Pour une fonction scalaire de plusieurs variables (un « champ scalaire »), le vecteur gradient est un vecteur qui généralise la notion de dérivée. En un point donné, ce vecteur contient toutes les informations sur la variation locale de la fonction. Il indique à la fois la direction de la plus forte variation et l’amplitude de cette variation.
1. Définition Formelle
Le gradient est simplement le vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles de la fonction.
Soit $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$ une fonction scalaire définie sur un ouvert $U$, et supposons que ses dérivées partielles existent en un point $a \in U$.
Le vecteur gradient de $f$ au point $a$, noté $\nabla f(a)$ (lire « nabla f de a ») ou $\text{grad } f(a)$, est le vecteur de $\mathbb{R}^p$ défini par :
$$ \nabla f(a) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \frac{\partial f}{\partial x_2}(a), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_p}(a) \right) $$
Exemple
Soit $f(x,y,z) = x^2 \sin(y) + z^3$.
Calculons ses dérivées partielles :
- $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x \sin(y)$
- $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 \cos(y)$
- $\frac{\partial f}{\partial z} = 3z^2$
Le vecteur gradient de $f$ est donc : $$ \nabla f(x,y,z) = (2x \sin(y), \quad x^2 \cos(y), \quad 3z^2) $$
2. Lien avec la Différentielle
Le gradient est l’outil qui permet d’exprimer la différentielle d’une fonction scalaire de manière simple et élégante.
Si une fonction scalaire $f$ est différentiable en un point $a$, sa différentielle $df_a$ est l’application linéaire qui à un vecteur $h \in \mathbb{R}^p$ associe le produit scalaire : $$ df_a(h) = \nabla f(a) \cdot h $$ Le développement limité de $f$ au voisinage de $a$ s’écrit alors : $$ f(a+h) = f(a) + \nabla f(a) \cdot h + o(\|h\|) $$
3. Interprétation Géométrique Fondamentale
L’interprétation géométrique du gradient est sa propriété la plus importante. Elle découle de la formule de la dérivée directionnelle : $D_v f(a) = \nabla f(a) \cdot v$.
[Image d’une carte topographique avec des vecteurs gradients]Le vecteur gradient $\nabla f(a)$ en un point $a$ possède les caractéristiques suivantes :
- Direction de la plus grande pente : Le gradient pointe dans la direction où la fonction $f$ augmente le plus rapidement. C’est la direction de la « pente maximale ».
- Amplitude de la plus grande pente : La norme du gradient, $\|\nabla f(a)\|$, est la valeur de cette pente maximale.
- Orthogonalité aux lignes de niveau : Le gradient est perpendiculaire à la ligne de niveau (en 2D) ou à la surface de niveau (en 3D) de la fonction $f$ qui passe par le point $a$.
Ces propriétés rendent le gradient indispensable dans de nombreux domaines :
- En optimisation : Pour trouver le minimum d’une fonction, l’algorithme de la « descente de gradient » consiste à se déplacer itérativement dans la direction opposée au gradient (la direction de la plus forte baisse).
- En physique : De nombreuses forces (gravitationnelle, électrostatique) dérivent d’un potentiel. La force est alors l’opposé du gradient du potentiel ($ \vec{F} = -\nabla V $). La force pousse les objets dans la direction où le potentiel diminue le plus vite.
- En traitement d’images : Le gradient d’une image (vue comme une fonction d’intensité lumineuse) permet de détecter les contours, qui correspondent aux zones de forte variation de luminosité.