L’étude approfondie de l’ellipse constitue un socle incontournable de la géométrie euclidienne plane. En effet, cette courbe fermée remarquable modélise rigoureusement les trajectoires orbitales képlériennes.
Définitions Formelles de l’ellipse
Soit $\mathcal{E}$ un plan affine euclidien orienté. La géométrie analytique propose deux définitions métriques strictement équivalentes pour cette conique.
Définition Bifocale Métrique
Considérons deux points distincts $F$ et $F’$, appelés foyers. Posons leur distance focale mutuelle $FF’ = 2c > 0$.
Soit un réel strictement positif $a$ tel que $a > c$. L’ellipse est le lieu géométrique exact des points $M$ vérifiant l’identité :
$$MF + MF’ = 2a$$Le paramètre scalaire $2a$ représente la longueur absolue du grand axe géométrique de cette courbe.
Définition Focale par Directrice
Alternativement, fixons un foyer affine $F$ et une droite directrice $\mathcal{D}$ ne contenant pas $F$.
Soit un réel $e \in ]0, 1[$. Ce scalaire définit rigoureusement l’excentricité de la conique. L’ellipse rassemble les points $M$ satisfaisant le rapport métrique constant :
$$\frac{d(M, F)}{d(M, \mathcal{D})} = e$$Propriétés Algébriques et Équations
La paramétrisation analytique de l’ellipse révèle ses symétries structurelles intrinsèques. Elle facilite le calcul infinitésimal sur la courbe.
L’Équation Cartésienne Réduite
Plaçons l’origine $O$ du repère orthonormé au milieu précis du segment focal $[F, F’]$. L’axe des abscisses porte naturellement les foyers.
L’équation cartésienne prend alors la forme quadratique canonique et normalisée suivante :
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$Le réel $b > 0$ correspond au demi-petit axe orthogonal. Il est défini par la relation pythagoricienne fondamentale :
$$b^2 = a^2 – c^2$$Paramétrisation Trigonométrique Continue
La compacité topologique de l’ellipse permet une paramétrisation angulaire globale. Pour tout paramètre réel $t \in [0, 2\pi[$, les coordonnées spatiales s’écrivent :
$$x(t) = a \cos(t) \quad \text{et} \quad y(t) = b \sin(t)$$Démonstrations Analytiques Rigoureuses
L’équivalence mathématique entre la définition bifocale et l’équation réduite nécessite un développement algébrique méticuleux.
Preuve de l’Équation Canonique
Preuve : Soit le repère orthonormé centré en $O$. Les coordonnées focales sont strictement $F(c, 0)$ et $F'(-c, 0)$. Considérons un point $M(x, y)$ appartenant topologiquement à l’ellipse.
La condition bifocale initiale s’écrit analytiquement avec la norme euclidienne :
$$\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a$$Isolons le premier radical euclidien. Élevons ensuite l’équation algébrique résultante au carré pour amorcer l’élimination.
$$(x-c)^2 + y^2 = 4a^2 – 4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + y^2$$Développons les identités remarquables polynomiales. Simplifions immédiatement les termes spatiaux quadratiques redondants.
$$x^2 – 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 – 4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + x^2 + 2cx + c^2 + y^2$$Nous obtenons une équation linéaire partielle isolant l’ultime radical géométrique.
$$-4cx = 4a^2 – 4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2}$$Divisons l’expression scalaire par $4$ et réarrangeons les termes pour préparer la seconde élévation.
$$a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = a^2 + cx$$Élevons une seconde fois au carré l’ensemble de l’égalité. Cette opération garantit l’élimination définitive des racines carrées.
$$a^2(x^2 + 2cx + c^2 + y^2) = a^4 + 2a^2cx + c^2x^2$$Distribuons les coefficients et regroupons méthodiquement les variables algébriques spatiales $x$ et $y$.
$$(a^2 – c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 – c^2)$$Substituons l’identité géométrique matricielle fondamentale vue précédemment : $b^2 = a^2 – c^2$.
$$b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2$$En divisant intégralement par la constante non nulle $a^2b^2$, la forme réduite canonique est formellement démontrée. $\blacksquare$
Exemples et Contre-exemples Topologiques
L’analyse des invariants paramétriques permet d’isoler les cas singuliers de l’équation quadratique générale.
Exemple Paramétré : Le Cercle Parfait
Considérons algébriquement la limite géométrique où la distance focale s’annule strictement. Nous posons formellement $c = 0$.
L’excentricité métrique devient nulle ($e = 0$). Les deux demi-axes s’égalisent parfaitement, impliquant structurellement $a = b = R$.
L’équation cartésienne se transforme inévitablement en celle d’un cercle euclidien de rayon unitaire $R$.
$$\frac{x^2}{R^2} + \frac{y^2}{R^2} = 1 \implies x^2 + y^2 = R^2$$Le cercle est donc rigoureusement modélisé comme une ellipse d’excentricité nulle.
Contre-exemple : L’Ellipse Ponctuelle Dégénérée
Modifions artificiellement le terme constant unitaire de l’équation cartésienne classique par le scalaire zéro.
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 0$$Cette somme algébrique de carrés réels positifs ne s’annule que si chaque terme est simultanément nul.
$$x = 0 \quad \text{et} \quad y = 0$$Cet ensemble mathématique ne forme absolument pas une courbe continue et régulière. Le lieu topologique se réduit strictement à un point singulier unique : l’origine spatiale $O(0,0)$.