Lemme de Fatou
Soit $(X, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré. Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions mesurables de $X$ dans $[0, +\infty]$. Alors : $$ \int_X \left(\liminf_{n \to \infty} f_n\right) \, d\mu \le \liminf_{n \to \infty} \int_X f_n \, d\mu $$
Démonstration
La démonstration est une application astucieuse du théorème de la convergence monotone. On définit une nouvelle suite de fonctions $(g_k)$ par $g_k(x) = \inf_{n \ge k} f_n(x)$. Chaque $g_k$ est mesurable, et la suite $(g_k)$ est croissante et converge ponctuellement vers $\liminf_{n \to \infty} f_n$. En appliquant le théorème de la convergence monotone à la suite $(g_k)$, et en utilisant le fait que $g_k \le f_k$, on obtient le résultat.
Implications
Le lemme de Fatou est un outil technique très puissant. Il est souvent utilisé comme étape intermédiaire pour prouver d’autres résultats majeurs de la théorie de l’intégration, notamment le théorème de convergence dominée de Lebesgue. Il fournit une inégalité utile dans les cas où la suite de fonctions n’est pas monotone.