Les Axiomes de Séparation
La propriété de Hausdorff (T2) n’est qu’un des nombreux « axiomes de séparation » en topologie. Ces axiomes forment une hiérarchie qui permet de classifier les espaces topologiques selon leur capacité à « séparer » des points ou des ensembles fermés. Comprendre cette hiérarchie permet de mieux situer la propriété de Hausdorff et d’apprécier la richesse des structures topologiques.
Un espace topologique $X$ est dit T0 si pour toute paire de points distincts $x, y \in X$, il existe un ouvert qui contient l’un des deux points mais pas l’autre.
C’est l’axiome de séparation le plus faible. Il garantit simplement que les points sont « discernables » par la topologie.
Un espace topologique $X$ est dit T1 si pour toute paire de points distincts $x, y \in X$, il existe un voisinage de $x$ ne contenant pas $y$ ET un voisinage de $y$ ne contenant pas $x$.
Un espace topologique $X$ est T1 si et seulement si tous les singletons $\{x\}$ sont des ensembles fermés.
Cette caractérisation est très importante et souvent plus simple à vérifier.
Un espace topologique $X$ est dit T2 ou de Hausdorff si pour toute paire de points distincts $x, y \in X$, il existe un voisinage $U$ de $x$ et un voisinage $V$ de $y$ qui sont disjoints ($U \cap V = \emptyset$).
La Hiérarchie de Séparation
Ces axiomes forment une chaîne d’implications strictes. Chaque niveau est plus contraignant que le précédent.
T2 (Hausdorff) $\implies$ T1 (Fréchet) $\implies$ T0 (Kolmogorov)
Les réciproques sont fausses. Par exemple, la topologie cofinie sur un ensemble infini est un espace T1 (car les singletons, étant finis, sont fermés) mais n’est pas T2.
Axiomes Supérieurs (pour information)
- Espace T3 (Régulier) : Un espace T1 où pour tout point $x$ et tout fermé $F$ ne contenant pas $x$, il existe des voisinages ouverts disjoints de $x$ et de $F$.
- Espace T4 (Normal) : Un espace T1 où pour toute paire de fermés disjoints $F_1, F_2$, il existe des voisinages ouverts disjoints de $F_1$ et $F_2$.
Ces axiomes plus forts sont essentiels pour démontrer des théorèmes importants comme le lemme d’Urysohn ou le théorème de prolongement de Tietze.